Вопрос 37)Стационарное температурное поле внутри цилиндра

Н айти стац. темп. поле внутри цил-кой полости, на стенках кот. поддерж-ся пост. темп-ра. 1)Стационарное темп-ное поле внутри цилиндра опис-ся ур-ем Лапласа: T = 0; 2) Сформулируем краевые усл : T(R,,z) = T_{0 ,} T(r,,h)=T₀, T(r,,0) = 0, T (R,,z) < ; 3)Из симметрии постановки задачи  что искомое реш-е будет завис. только от r и z: T( r , z); 4)Из пост-ки задачи ясно, что реш. задачи - ф-я не периодич. по z. Из табл.  что перечисл. доп. усл-ям удовл. 1-я строка и 3-я: a z + b ; C₂ (C₃ sh mz + C₄ ch mz) C₅ J₀ (mz). Общ. реш-е Лапласа построим налож-м вычеслен-х реш-й (n=0): T (r,z) = a z + b + (A_k sh m_kz+B_k ch m_kz) J₀(m_kr). Удовлетв-я кра-му усл-ю на бок. пов-ти цилиндра ( T(R,z) = T₀) им-м: a=0 , b=T₀ , J₀(m_kr) = 0  m_k = ( μ_k / R) ; где μ_k - корни ур-я J_n (μ)=0. В рез-те реш. примет вид: T(r,z) = T₀+_k(A_k sh m_kz + B_k ch m_kz) J₀(m_kr) . Удовлетв. краевому усл. при z = h (T(r,h)=T₀), получим : A_k sh m_kh + B_k ch m_kh = 0 => B_k = -A_k th m_kh – подст-в в реш-е, получим: T (r,z)=T₀ + _k A_k [sh m_kz - th m_kh ch m_kz] J₀(m_kr). Остался неопр-м один коэф. Удовл-я краев. усл. при z=0 (T(r,0)=0), получим: T₀ = _k A_k th m_kh J₀(m_kr). Запис. соотн. есть разложение const T₀ в ряд Фурье-Бесселя. Умножая его на rJ₀(m_kr) и ∫-я в пределе от 0 до R и используя ортогон-ть ф-и Бесселя получим: A_k th m_kh = (-₀∫^r T₀ r J₀(m_kr)dr) / || J₀ ||² = (2T₀) / (μ_k J₁(μ_k)) отсюда A_k = (2T₀) / ( μ_k J₁(μ_k) th m_kh). Подставляя найденное знач. A_k в решение получим окончат выраж. для темпер-го поля: _. Для того, чтобы ф-ция была реш-ем необх. сходимость ряда.

Вопрос 38) Метод ф-ии Грина.Ф-ия Грина,задачи дирихле

М етод ф-й Грина позвол постр приближ реш-е ЗД, выражая их ч/з гранич условия в виде -лов по границам области. Покажем метод на конкрет примерах. Реш-е внутр ЗД мет ф-й Грина. Пусть в некот обл V с нормалью n необ реш ЗД {=0; |_S=f }. Восп-ся осн тожд гарм ф-й: (*) M V,N S. Это тожд-во не дает реш-е ЗД, т.к. содер-жит неизв ф-цию (N)/n. Преобразуем фун так, чтобы исключить /n. Для этого используем 2-е тожд Грина : =0(**),  - реш-е исход ЗД, U- гарм ф-я. Складываем (*) и (2*), получ: . Польз произволом в выборе U подбер ее так, чтобы искл слаг с /n в прав части. Для этого дост положить: { U=0; U(N)|_NS = - |_NS }Тогда обозн-яя =G(M,N) запишем реш-е ЗД в виде: Ф-я G(M,N) наз фун Грина в ЗД для УЛ. Заметим, что для построения ф-ии Грина необх решить краев задачу: {_MU(N)=0 и U(N)|_NS - |_NS } По сложности не уступ исход задачи, однако это частная задача определения U не связна с краев услов-ми и имеет только геометр смысл. Т.е. построив ф-ю Грина для конкрет обл, мы тем самым постр множ-во решений ЗД для этой обл. Для мног обл-тей ф-ция Грина уже постр и привод-ся в справ лит-ре. Свойства функции Грина. Примерное поведение ФГ на прямой, пронизывающей обл V как ф-ии N показано на рис. ФГ облад след св-ми:

1) При фиксир M ФГ по перемен N удов-ет УЛ всюду, за искл M=N: _NG(M,N)=0: MN

2)При MN G(M,N) как 1/r_MN. Говор, что в т. M=N ФГ имеет особеность 1/r_MN.

3)На границе обл ФГ G(M,N)|_NS=0

4)В  внутр т. обл-ти V ФГ положительна G(M,N)>0 (следствие из теор о max и min для гарм ф-ций.)

5) На границе обл V G/n|_S<0;

6) ФГ удовл усл-ю нормировки: это следует из , где считается константой.

7) ФГ ЗД облад св-вом симметрии: G(M,N) = G(N,M), принцип симм-ии отражает принцип взаим-ти в электростатике. ФГ на плоскости ввод-ся анал-но.

8) ФГ можно придать электростат-ий смысл, G-потенц-ал точечного заряда q=4 , помещенного в точку M в нутри провод-ей поверхн-ти S, потен-ал кот-ой равен нулю. Решение ЗД на плоск-ти выраж-ся через ФГ: { G(M,N)= }

В нешняя задача Дерихле. В этой задаче учитывается поведение на  { = 0;  | _S = f ; ()=_<}. Окружим обл V сферой , R>> , обл м/ж S и обозначим как и в ней введем ф-ию Очевидно, что { = -  _ ; =0; |_S = f - _ , ()=0 }. Для вводится ФГ , тогда Р/м отд-но -л для . По 2-ой теореме о среднем при R , учитывая св-во нормировки: 0< . Из этого след-ет, что -л огран-ая ф-ия для и В итоге получаем (M)= _