Вопрос 34)Разделение переменных в декартовых координатах.

П

₀(x,y)

(x,y)

остроим общее решен ур-ния Лапласа на плоскости в декатр коорд. =  ²/ x ² +  ²/y ² = 0 ;Базисное реш-е: _n(x,y) = X(x) Y(y), подставляя это решение, получим:YX ^{/ /} + XY ^{/ /} = 0 умножим на 1/XY; X ”/X = - Y ”/Y = k const разделения. Поскольку лев часть зависит только от х, а правая только от у, рав-во возможно если оба они равны k. Построим решение записанного ОДУ при различных k:1) k = 0 имеем X ” = 0; Y ” = 0. Базисная ф-ция: ₀ (x,y) = a₀ xy + b₀ x + c₀ y + d₀ функция такого вида наз линейчатой. 2) k = n² > 0, X ” – n² X = 0, Y ” + n ²Y = 0; X(x) = C₁e^nx + C₂e^{- nx}. Y(y) = C₃ cos ny + C₄ sin ny. Базисная : _n(x,y) = XY = (a_ne^nx + b_ne^-nx) sin ny+ (a’_ne^nx + b’_ne^-nx )cos ny, общее решение для этого k:  ₁(x,y) =  _n(x,y); 3) k = - n² < 0, { X ” + n² X = 0, { Y ” - n² Y = 0, базисное решение имеет вид:_n (x,y) = (c_n e ^ny + d_n e ^-ny) sin nx + (c’_ne^ny + d’_ne^-nx ) cos nx. Общее реш-е : ₂(x,y) =  _n(x,y) комплексн значение k новыхрешений не дает.Общее реш ур-ния Лапласа на пл-ти:(x,y) = ₀ (x,y) +  ₁ (x,y) +  ₂ (x,y), построенные ряды будут решениями при условии сходимости рядов.

Вопрос 35) Решение задачиДирихле для прямоугольника

Построим методом Фурье реш зад Дирихле. Будем считать ф-цию f(p) непрерывной, если это не так, следует аппроксимир её непреравн. { = 0; {  | _L = f (p) , pL. Представим f(p) в виде: f (p) = f ₀ (p) + f ₁ (p) + f ₂ (p), где вид ф-ции f _i (p) опред рис. Эскизы граничных условий. Заметим что f ₀ (p) – лин ф-ция на контуре L естественно. Реш искать : ₀ (x,y) = a₀ xy +b₀ x + c₀ y + d₀ удовлетворим краевым условиям в углах прямоугольника. где f _i – значения краевых условий в углах. Построим реш  ₁(x,y). Краевые условия при y = 0 и y = b можно удовлетворить лишь сохранив в общем решении тригоном ф-ции аргумента y. Удовлет.краев.усл.(*) наход.: Удовлет. Краевым условиям при x=0 и x=a: Удовл. этим условия ; остроим теперь ф-цию ₂(x,y) удовл краев услов при х = 0, х = а можно сохранив в общем решении тригоном ф-ции аргумента х. Для построен ф-ции ₂ достаточно в ₁ поменять x на y. , где

Вопрос 36)Разделение переменных в цилиндрических координатах

Р

₁(x,y)

ассм. усл-е Лапласа в ЦСК: =(1/r) /r (r(/r)) + (1/r²) (²/α²) + (²/z²)=0. В соотв. с методом Фурье, базисн. реш-е этого ур-я будем искать в виде:  ( r ,  , z ) = R(r) A() Z(z) и после подст-ки в ур-ние получим: AZ(1/r) (r R`)`+ (A``RZ)/r<sup>2</sup> + RAZ``= 0 |: r²/(RAZ). (r/R) (r R`)` + r²(Z``/Z) = -A``/A = k – конст-та раздел-я =>A``+ k A = 0 , k=n<sup>2</sup> , n=0,1,... – наиб. употребит. реш-я. { n0 A() = C<sub>1</sub> sin n+C<sub>2</sub> cos n; { n=0 A() = C<sub>1</sub>  + C<sub>2</sub> . Выпишем ур-ние для RZ : (r/R)(r R`)`+ r<sup>2</sup> (Z``/Z)=n² . Ещё раз разделив переменные получим: - (n²/r²) + (r R`)`/(r R)= - (Z``/Z)=S – новая конст-та раздел-я. Отсюда для Z сразу имеем: Z``+ S Z = 0; Построим реш-я для разн. S: 1) S = - m² < 0: Z(z)=C₃ ch mz + C₄ sh mz; 2) S = m² > 0 : Z(z)=C₃ sin mz + C₄ cos mz; 3) S = 0 : Z(z)=C₃ z + C₄; Выпишем ур-е для R при различных s: R``+ (1/r) R`+ ( ± m<sup>2</sup> - (n<sup>2</sup>/r<sup>2</sup>) ) R = 0 ; n=0,1,... , m - веществ . Здесь знак «+» соотв. периодич. по z реш-ю., а «-» непериодич. Рассм. различ. комб-ции m и n: 1) n=0 , m=0  R``+ (1/r)R`=0. Дважды инт-ем: R(r)=C<sub>5</sub> ln(1/r)+C<sub>6</sub>; 2) n0 , m=0  r<sup>2</sup> R``+r R`- n² R=0 - ур-е Эйлера  R(r)=C₅ rⁿ + C₆ r ^–n ; 3) m0 , x = mr  R``+(1/x) R`+ ( ±1 - n²/x²) R=0. При знаке «+» имеем ур-ние Бесселя пор-ка n, его решение: R(r) = C₅ J_n(mr)+C₆ Y_n(mr) . При «-» имеем модиф. ур-е Бесселя, его баз. реш-ние: R(r) = C₅ I_n (mr)+C₆ K_n (mr). Итак, для  знач. конст. разд-я ф-ции одного перемен. найдены. Перемножая эти ф-ции, постр. таблицу баз. Реш-й ур-я Лапласа в ЦСК:

1) (С₁ +С₂) (С₃ z+С₄) (С₅ ln (1/r)+C₆),

2) (C₁ sin n+C₂ cos n) (С₃ z+С₄) (C₅ rⁿ + C₆ r ^-n),

3) (С₁+С₂)(C₃sh nz+C₄ ch nz)(C₅J_n(mr)+C₆Y_n(mr)) ,

4) (С₁ +С₂) (C₃ sin mz + C₄ cos mz) (C₅ I_n (mr) + C₆ K_n (mr)) 5) (C₁ sin n+C₂ cos n)(C₃ sh nz+C₄ ch nz)(C₅ J_n (mr)+C₆ Y_n (mr));

6) (C₁ sin n+C₂ cos n) (C₃ sin mz+C₄ cos mz)(C₅ I_n (mr)+C₆ K_n (mr)).

₂(x,y)