Вопрос 32)Решение задач Дирихле и Неймана для круга

Используя. (r,) = a₀ ln(1/r) + b₀ + _n=1^ [r ⁿ(a⁺_n sin(n) +b⁺_n cos n) + r ^--n (a^--_n sin(n) + b^--_n cos(n))] –общее решение ур-ия Лапласа. (*), легко построить решение задач Д. и Н. в круге R. Очевидно что в общем решении следует положит а₀ = 0 ; a^--_n = b^--_n = 0. Решение имеет вид:  (r,) = b₀ +_n=1^ [r ⁿ (a⁺_n sin n + b⁺_n cos n)]. Коэф-ты. опред. краевыми усл. а)Задача Дирихле.: =0; (R,) = f(). Удовлетворяя краев. условиям имеем : (R,) = f() = b₀ +_n=1^ [Rⁿ(a⁺_n sin n + b⁺_n cos n)] откуда имеем : { b₀=1/2 ₀∫^2 f()d; { Rⁿa_n⁺=1/ ₀∫^2f()sin(n)d; { Rⁿb_n⁺=1/ ₀∫^2f()cos(n)d б)Задача Неймана. { =0, /r(R,)=f() } Удовлетворяя краев. условиям: /r (R,)=f() =_n=1^ [nR^n-1(a⁺_n sin n+ b⁺_n cos n)], имеем { nR^n-1 a_n⁺=1/ ₀∫^2 f()sin(n)d; { nR^n-1 b_n⁺=1/ ₀∫^2 f()cos(n)d . Пример 1.Тонкий пучок электронов движ. со скор. V проходит по оси электростатической линзы состоящей из 2-х не соприкас. || оси х полуцилиндров. Между кот поддерживается пост напряжение U. Найти угловое отклонение  если tg <<1……ma=eE; S=at²/2 a=eE/mt=l/v; rot E=0, E= -;div E=0, =0 Эл-стат поле описывается ур-ем Лапласа. Причем:a ₀ = 0 ; r ^--n ( a^--_n sin n + b^--_n cos n)=0. Краевое условие : (R,)=0, [;2]; (R,)=U, [0;]

Вопрос 33)Электростатическое поле внутри и вне диэлектрического цилиндра помещенного во внешнее поле е0

Найти эл. поле внутри и вне диэл. цилиндра R внесенного в эл. поле E₀-однород.Тк. Поле стац-но : rotE=0 Е=-, div E = 0 =0 вне S.2 потенциала : ⁺ = ^-- =0 Вне S явл гармонич-ми. Сформул. доп усл.В силу непрерыв. касат.составляющей поля E : Е⁺ = Е^-- -> ⁺(R,) = ^--(R,) (1)D⁺n(R,)=D^--n(R,) D=E= -; ⁺ ⁺/n (R,) = ^-^-/n(R,) (2); ⁺(r,) < ;  ^-- |_ = ₀() = -E₀ x = -E₀ rcos. Заметим что ⁺ и ^-- чётные ф-и . общее решение: ⁺ -огранич. чётная функция.{ ⁺(r,)=_n=1^ [rⁿ b⁺_n cos(n)], { ^--(r,)=_n=1^ r^--n b^--_n cos(n) - E₀rcos. Удовлетвор записанным кр условиям определим b⁺_n и b^--_n {Rⁿ b⁺_n cos n = - E ₀Rcos +  R^--n b^--_n cos n; {⁺ nR^{n -1}b⁺_n cos n= - E ₀^--cos+ ^--nR^{- n -1} b^--_n cos nВ силу лин независ тригонометрич ф-ций эти рав-ва спра-ведливы при рав-ве коэф-ов при COS одинак кратности: Приравнивая при n=1 : { Rb⁺₁ = - E ₀R + b^--₁/ R ; { ⁺ b⁺₁ = ^-- b^--₁ / R² Разрешая эту СЛАУ находим : { b⁺₁= - 2^-- / (⁺ + ^-- ); {b^--₁ = R² E₀ (⁺ - ^--)/ (⁺ + ^--) Для n=2,3 получаем однородные СЛАУ с оределителем не = 0 . Поэтому все остальные коэф = 0 и решение имеет вид : { ⁺(r,) = - 2^-- / (⁺ + ^--) E₀ r cos{ ^--(r,) = - E₀ r cos + R² (⁺- ^--)/(⁺ + ^--) E₀ (cos/r)Выражение для потенциала внетр и вне диэл-ка . 2-е слагаемое для ^-- описывает вне цил-ра поле поляри-зацио заряда , удов-ет (1/r) . Установим характер резуль-тир. Поля внутри цил-ра. Для этого вычислим : Е⁺ = -⁺= - e _x (⁺/x)= e _x 2E₀ ^-- / (⁺ + ^--) (однород поле внутри). Заметим что если ⁺<< ^-- (дырка в диэл-ке), то Е = e _x 2E₀ Пусть ⁺  проводящий цил-р), тогда поле E⁺ 0