Вопрос 27) Электростатическая интерпретация основного тождества

Положим в основном тождестве: –ε_oφ = τ ; ε_o(φ/n) = σ, тогда оно может быть переписано в виде:

Выясним физическое содержание входящих сюда интегралов. Очевидно, что первый интеграл есть потенциал слоя заряда распределенного с плотностью σ по поверхности S. Действительно,

Интегрируя это соотношение по S находим

φ_σ(M) = (1/4пε_o)_S(/r)dS

На поверхности S рассмотрим двойной слой заряда. Расстояние между слоями h. Рассмотрим фрагмент поверхности в окрестности точки Q.(рис) Подсчитаем потенциал точки М:

Умножим на h, а затем разделим на h и перейдем к пределу при h0, а Q так чтобы:

. Тогда

Интегрируя это соотношение по всей пов-ти S получим потенциал двойного слоя заряда. Он совпадает со вторым интегралом тождества, т.е. второму интегралу можно придать смысл потенциала двойного слоя заряда.

В ММФ множитель ε_o опускают, а соответствующие интегралы:

{_(M) = (1/4п)_S((N)/r_MN)dS_N – простой слой

{_(M) = (1/4п)_S((N)(/n_N)1/r_MN)dS_N – двойной слой

Это потенциалы простого и двойного слоев соответственно. Здесь  и  - произвольные функции определенные на S. Легко показать что записанные потенциалы вне S есть гармонические функции. Применяя эту терминалогию можно основное тождество сформулировать основной теоремой гармонических функций.

Теорема. Любая гармоническая функция  представима в V в виде суммы потенциала простого слоя с плотностью  = (/n)|_S и двойного слоя с плотностью  = -|_S.

Вопрос 29)Единственность решения внешней задачи Дирихле и Неймана

На простом физ. примере выясним условие, гарантир. един-ть реш-я. ] нужно расчитать стационарное температурное поле вне шара R, если т-ра пов-ти шара оддерж-ся пост-ной T₀. Естес-но ожидать, что влияние шара на окруж. среду будет убывать при удалении от шара. В силу симметрич-ти постановки задачи и однор. пр-ва иском. темп. поле может завис. только от расст-ния вне шара. Это темп-ное поле удовл-ет ур-нию Т=0. Но такое реш-ние изв-но и имеем : T(r)=C₁/r+C₂. При этом на пов-ти шара должно вып-ся условие: T(R)=T₀. Естес. 2-ым услов-ем явл-ся огранич-ть темп-ры на -ти:T() = T_<; T_- темп-ра окруж. среды вдали источ-ка. Эти условия един. обр-зом опред-ют константы C₁ и С₂: С₂= T_ , T₀=C₁/R-T_ , C₁=(T₀-T_)R. T(r)=((T₀-T_)/r)*R+T_. Из эт. примера , что естес. условием на -ти для задачи Дерихле есть требов-ние огранич-ти реш-ния. Рассм. аналог. задачу на пл-ти, заменим шар  длинным цилиндром темп-ры пов-ти Т₀. В эт. случ. реш-е, зависящ. от расст-ния до оси им. вид: T(r)=C₁ln(1/r)+C₂, T(R)=T₀. Очев-но, что при С₁0 не  огранич. реш-ние при  C₁ и C₂.  в эт. случае реализуема только 1-на ситуация: C₁=0, C₂=T₀. Это знач., что цил-др нагрев-ет всё пр-во до своей темп-ры. В том случ., когда темп-ра цил-ра есть полярная ф-ция T(R)=f(), то знач-е темп-ры на беск-ти будет неиз-но, однако можно считать, что оно будет ограничено. Теорема: Реш-ние внеш. задачи Дерихле в пр-ве, огранич. на -ти и единственно.{ =0, { |_S=f,{  () = _<. Док-во: ]  2 реш-я ₁ и ₂. Очев-но, что разность удовлетворяет: {=₁-₂, { = 0, {| _S= 0, {| _Sr = .В силу теоремы o max и min для гармонич. ф-ций реш-ние  для обл-ти S+S_R не может по модулю превышать значение (0 _y ). Устремляя R, заметим, что 0, очевидно, что 0, , ₁₂, и на  совп- ют. Анал-но док-ся теорема един-ти на пл-ти.2. Внеш. задача Неймана. Рассм. пример, поясн-щий постановку внеш. задачи Неймана в пр-ве и на пл-ти. Р/м стац. темп-ное поле в шаре рад. R, если на его пов-ти задан тепловой поток Т/n | _S=А. Решение в эт. случ. также будет завис. от рад-са длины вект-ра и имеет вид: Система (T(r)=C₁/r+C₂, Т/n|_S=А) . Естеств. 2-ым доп. усл-ем явл. огранич-ть темп-ры на ., T_<. C₂=T_, A= -C₁/R²; C₁= -AR². T(r)= -(AR²)/r-T_, что показ. единст-ть реш-ния. Р/м плоский случай: шар заменим цилиндром на пов-ти - постоян. теплов. поток. Реш-е в эт. случае им. Вид : T(r)=C₁ ln(1/r) + C₂, Т/n(R) = А. Оч-но, что при С₁=0 удовлетворить краевому условию на пов-ти цил-ра не возможно. Если С₁0, то С₂ решение возрастает, огранич-е темп-ры на  мож. ожидать лишь в случае: _L (Т/n) dl=0 –усл-вие разреш-ти задачи. Теорема: Реш-е внеш. задачи Неймана огр. на , единственно: Сист :( =0, /n|_S=f, ()=_<) Док-во: ]  2 реш-я ₁ и ₂. Их раз-ть =₁ - ₂ удовл. условию: Система(=₁ - ₂, =0, /n|_S=0, ()=0). Примен. к  и внеш. обл. V 1 тожд-во Грина: _V [+(grad )²]dV= =_S(/n)dS+4_ с условием гарм-ти ф-ции, имеем:_V (grad )²dV=0  grad =0 =const  =0; ₁=₂. Аналогично можно доказать для случая плоскти.