Вопрос 23)Краевые задачи для ур-ия Лапласа

О сн краевые задачи.Из  мн-ва решений ур-я Лапласа, конкретное решение выделяется заданием доп усл. Хар-ными доп усл-ми яв-ся краевые (граничные) усл-я. Совок ур-я Л и краевых усл-й образует краевую (граничную) задачу для ур-я Л. Для этого ур-я осн яв-ся след краев задачи:

1) Первая краевая задача – задача Дирихле.

Отыскать гарм в обл V функ по её знач на гран обл.

{Δφ(M)=0; MєV

{φ|_s=f(M); MєS

2) Вторая краевая задача – задача Неймана.

О тыскать гарм в обл V функ φ по её норм произв на границе обл S.

{Δφ(M)=0; MєV

{φ/n|_s=f(M); MєS

3) Третья краевая задача.

Найти гармон в обл V ф-цию по знач лин комб ф-ции и её нормал произв на границе области.

{Δφ(M)=0; MєV

{(αφ+βφ/n|_s)=f(M); MєS

4) Смешанная краевая задача.

Отыскать гарм в обл V функ, если на части границе задана фун, а на другой, доп её часте, норм произв.

{Δφ(M)=0; MєV

{φ|_s[1]=f₁(M); MєS₁

{φ/n|_s[2]=f₂(M); MєS₂

{S=S₁+S₂

Замечания: Выше были сформулированы внутренние краевые задачи для ур-я Л. Аналогично ставятся внешние краевые задачи, когда реш-е отыскивается вне области ф-ции. Для внеш задачи необходимо задание поведения ф-ции на .

Вопрос 24)Конечно разностная аппроксимация ур-ия Лапласса

 ф-я φ(x,y) опред в обл S и в этой обл удовл ур-ю Л.

Прямыми, параллельн осям коорд, покроем пл-ть S.

x=y=h=const

Точки пересечения наз-ют узлами сетки. Каждому узлу сетки сопоставим 2 индекса: i и j, изм вдоль осей x и y соответственно. Ф-ция φ, опр только в узлах сетки, наз-ся сеточной ф-цией.

Р /м фрагмент сетки в окрестности ij-того узла.

Представим сеточную ф-цию φ_i+1,j в виде ряда Тейлора в окрестности ij-того узла: φ_i+1,j=φ_i,j+(φ_i,j/x)x+0.5(²φ_i,j/x²)x²+…

Разрешая это соотношение относительно φ_i,j/x и отбрасывая в полученном выражении слогаемые, содержащие x в перв, втор и т.д. степенях, получим конечно-разностную аппроксимацию вперёд первой частной производной φ по x: φ_i,j/x(φ_i+1,j-φ_i,j)/x, погрешность этой ф-ции имеет порядок x.

Разлагая аналогично φ_i-1,j в ряд Тейлора получим К-Р аппроксимацию назад первой частной производной: φ_i,j/x(φ_i,j-φ_i-1,j)/x.Установим центрально-разностную аппроксимацию первой и второй производной.

(*) φ_i+1,j=φ_i,j+(φ_i,j/x)x+0.5(²φ_i,j/x²)x²+ (1/6)(³φ_i,j/x³)x³+(1/24)(⁴φ_i,j/x⁴)x⁴…

(**) φ_i-1,j=φ_i,j-(φ_i,j/x)x+0.5(²φ_i,j/x²)x²-(1/6)(³φ_i,j/x³)x³+(1/24)(⁴φ_i,j/x⁴)x⁴…

Вычитая (**) из (*), разрешая результат относительно φ_i,j/x и отбрасывая слогаемые, содержащие x во втор, третьей и т.д. степенях, получим центрально-разностную аппроксимацию первой производной: φ_i,j/x(φ_i+1,j-φ_i-1,j)/(2x), погрешность этой аппроксимации имеет порядок x².Складывая (*) и (**), разрешая результат относит ²φ_i,j/x² и отбрасывая слогаемые, содержащие x во втор, третьей и т.д. степенях, получим конечно-разностную аппроксимацию второй производной: ²φ_i,j/x²(φ_i+1,j-2φ_i,j+φ_i-1,j)/x², погр. - x².

Аналогично получ-ся аппроксимация производной по y: ²φ_i,j/y²(φ_i,j+1-2φ_i,j+φ_i,j-1)/y²

Подставляя найденные значения в ур-е Лапласа, получим конечно-разностную аппроксимацию ур-я Лапласа: (1/h²)(φ_i+1,j+φ_i-1,j+φ_i,j-1+φ_i,j+1-4φ_i,j)=0

φ_i,j=0.25(φ_i+1,j+φ_i-1,j+φ_i,j-1+φ_i,j+1)

З аписан выр-е яв-ся дискретным аналогом теоремы о среднем для гармон ф-ций. Записанная теор м.б. использ для числен приближённого реш зад Дирихле. в нек-рой плоск обл (см рис) необходимо решить задачу Д. Покрыв обл S сеткой и записав для каждого внутр узла сетки дискретную теорему о среднем, перенесём затем неизвестные величины влево, а известные (граничные) – вправо. В результате получим СЛАУ относительно значений сеточных ф-ций во внутр узлах. Матрица этой СЛАУ имеет специфический вид. Отличны от 0 только эл-ты, стоящие в окрестн глав диагонали. Эта особ-ть сущ-но упрощает реш СЛАУ.Р/м ещё один способ реш задачи Д – итерационный.Снабдим сеточные функ φ_i,j верхним индексом k:

φ^k_i,j=0.25(φ^k-1_i+1,j+φ ^k-1_i-1,j+φ ^k-1_i,j-1+φ ^k-1_i,j+1)

Полагая k=1 и задавая произвольно значения φ⁰_i,j, получим первое приближение φ¹_i,j.

Пологая дальше k=2,3,…, можно найти след приближения решения. Процесс можно остановить, когда: max_i,j-(| φ^k+1_i,j- φ^k_i,j|)/| φ^k+1_i,j|<ε, ε – требуемая погрешность.Сеточное моделирование ур-я Лапласа.

 нобходимо решить задачу Д в нек-рой плоской обл. Изготовим из одинаковых резисторов сетку, совпадающую по форме с этой областью.

К граничным узлам подключим источники ЭДС, концы к-рых замкнём эквипотенциальной шиной. Тогда граничные узлы сетки приобретут потенциал E_k, если подобрать их так, чтобы они совпали с граничными решениями, то значения граничных ф-ций совпадут со значениями потенциалов. При протекании тока по сетке узлы примут нек-рые потенциалы.

В соответствии с первым законом Кирхгофа: i₁+i₂+i₃+i₄=0; i_k=(φ_k-φ₀)/R

Подставляя это соотношение в закон Кирхгофа, получим: φ₀=0.25(φ₁+φ₂+φ₃+φ₄)

В каждом узле сетки будет реализована дискретная теорема о среднем. Можно показать, что если в каждом узле сетки реализована теорема о среднем, то сеточные ф-ции гармонические. На построенной сетке реализуются гармонические ф-ции с заданными граничными условиями, т.е. решение задачи Дирихле.