Вопрос 21)Ур-ие Максвела, телеграфные ур-ия для векторов поля.

Известно, что эл.-магн. поле в однородной среде без заряда, с постоянными характеристиками ε и μ, и проводимостью γ, описывается ур-ями Максвелла:

{rotH = δ + ε(∂E/∂t) {divB = 0 → divH = 0

{rotE = -(∂B/∂t) {divD = 0

{B = μH : D = εE

{δ = γE

Вычисляя rot от первого ур-ия системы и используя другие ур-ия исключим из системы вектора E, B, D, δ.

-H + grad(divH) = -γμ(∂H/∂t) - εμ(∂²H/∂t²)

H - γμ(∂H/∂t) - εμ(∂²H/∂t²) = 0

Это ур-ие называется телеграфным. Вычисляя rot от второго ур-ия Максвелла и повторяя рассуждения можно получить телеграфное уравнение Е:

E - γμ(∂E/∂t) - εμ(∂²E/∂t²) = 0.

Телеграфное ур-ие описывает механизм распростр электромагнитных волн в пр-ве, включающие в себя дифузию и волновой процесс. Если рассматриваемая среда хорошо проводящая, то тогда γμ>>δμ, и можно переписать телеграф ур-ие так: H - 1/a(∂H/∂t) = 0

Следовательно электромагнитное поле в проводнике распространяется. Рассмотрим диэлектрическую среду для которой εμ>>γμ. В этом случае телеграфное ур-ие преобраз в виде: H – (1/а²)(∂²H/∂t²)=0 1/а² = εμ

Следовательно в диэлектрике имеет место волновой процесс распространения электромагнитного поля. Переменное электромагнитное поле в диэлектрике может быть описано диэлектрич потенциалами. Введем векторный потенциал B = rotA :

rotE = - rot(∂A/∂t) или rot (E + ∂A/∂t) = 0 →

→ E + ∂A/∂t = - gradφ , откуда E = - (∂A/∂t) - φ.

Перв слагаемое описывает вихревую составляющую, а второе потенциальную составляющую вектора Е. Перв ур сист Максвелла может быть переписано так:

rot(rotA) = μδ – με(∂/∂t)(gradφ + ∂A/∂t)

-A = μδ – grad(με(∂φ/∂t) + divA) – με(∂²A/∂t²) = 0

Векторный потенц А, вектор соотношением В = rotA определяется не однозначно. Поэтому пользуясь произволом потребуем чтобы вект потенц удовлетв нормировке: με(∂φ/∂t)+divA=0 -нормировка Лоренца

divA = 0 – нормировка Кулона.

Пронормировав векторный потенциал получаем:

A -(1/a²)(∂²A/∂t²)= - μδ : или □A=- μδ , где 1/a² =με.

Аналог можно установить ур для скаляр потенц □φ=0.

Функции А и φ удовлетворяющие записанным ур-ям назыв электродинам потенц. Во многих практических случаях эти ф-ции рассм более проще чем X, μ и Е.

Вопрос 22)Ур-ие Лапласа, основные св-ва гармонических ф-ии

Говорят, что скалярная ф-ция φ(n) удовл в обл V ур-ю Лапласа, если в каждой точке обл имеет место соотношение: div grad φ  Δφ =0

Ф-ция φ(n), удовл в кажд точке обл ур-ю Лапласа, наз-ся гармонической в обл V.

Приведём ур-я Лапласа в наиб употребимых СК:

ДСК: ²φ/x²+²φ/y²+²φ/z²=0

ЦСК: (1/r)/r(r(φ/r))+(1/r²)( ²φ/α²)+ ²φ/z²=0

ССЛ: (1/r²)/r(r²(φ/r))+ (1/(r²sinθ))/θ(sinθ(φ/θ))+(1/(r²sinθ))( ²φ/α²)=0

Если ф-ция не зависит от одной координаты, то двумерное ур-е: ²φ/x²+²φ/y²=0 (ДСК)

Заметим что оп-р Лапласа определён на мн-ве дважды интегрируемых и диф-мых ф-ций.