Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
otvety_Vovy_i_moi_nemnozhko.docx
Скачиваний:
7
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
760.59 Кб
Скачать

Вопрос 1)Обыкновенные ду с постоянным коэфиц.

их базисные решения.

Р/м св-ва на примере колебаний маятника.

Применяя II З. Ньютона, получим ОДУ опис-е его движение: m(d2u/dt2)+r(du/dt)+ku=F (*)

Первое слагаемое описывает инерционное св-во маятника, второе – сопротивление среды, а третье – внутр хар-ки маятника. Обозначим диф оп-р, порождающий ур-е, буквой D: D=m(d2/dt2)+r(d/dt)+k, тогда:Du=F. D(αU1+βU2)=αDU1+βDU2.Заметим, что оп-р D линеен. Св-во линейности очень важно оно позволяет применить метод суперпозции(наложения).В соответствии с общей теорией лин ур-й, реш-е ур-я (*) имеет вид: u(t)=u f (t)+u 0(t), где uf – к-либо частное реш-е, а u0 – реш-е однородного ДУ.Известно, что лин ОДУ имеет ровно столько лин независ решений, каков порядок ДУ и они представимы в виде: u0(t)=c1u1(t)+c2u2(t), где c1, c2 – произвольные константы.

Мн-во ф-ций uk(t) образуют фундаментальную систему оп-ра D (ядро) {u k}=kerD В дальнейшем мн-во uk будем назвать базисными ф-циями. Их легко построить методом Эйлера. Базисные ф-ции отыскиваются в виде: uk(t)=ep[k] t. После подстановки в (*), получается алгебраическое ур-е относительно pk, оно наз-ся характерестическим: mp2+rp+k=0. В зависимости от m, r, k возможны варианты:

1) Корни вещественны и различны (p1 и p2). Базисные решение имеют вид: u1=ep[1] t; u2=ep[2] t.

2) Корни комплексные: p1,2=λ±iω.Решения:u1,2=e(λ ± i ω)t. В этом случае в кач-ве базисного решения исп-ся Re и Im части: {u1=eλ sinωt; u2= eλ cosωt.}

3) Корни вещественны и равны: u1=ept; u2=tept.

В о всех 3-ех случаях ф-ии U1 иU2 линейно независимы. Мн-во линейно независимых решений однородного ур-ия(*) называется фундаментальной системой решений ДУ.Это мн-во называют(ker Д)-ядро оператора Д0.Ф-ии не из этого мн-ва называют базисными ф-ми ДУ(*).Если базисные ф-ии известны, то ф-ия U0 в силу линейности оператора Д представлена в виде:

U0(t)=C1U1(t)+C2U2(t) где С1 и С2 –const.Общее решение ДУ(*) может быть представлено в виде:

U(t)=Uf(t)+C1U1(t)+C2U2(t)

Вопрос 2)Построение частного решения методом импульсной реакции

m(d2u/dt2)+r(du/dt)+ku=F (*)

Построем частное реш ОДУ (*) методом импульсной

р-ции. Суть метода в том, что строится вспомогательная ф-ция G(t) наз-я импульсной р-цией системы. Она имеет смыс реакции системы на короткий единичный импульс. Ф-ия G(t) называется импульсной реакцией потому что сила F должна быть нормирована по правилу (условие): 0Δt F(t)dt=1. В силу инерционности маятника он не успевает получить смещение, но приобретает начальный импульс. Ф-ция G при t>Δt должна удовлетворять однородному ур-ю (*) и нулевому нач усл (G(0)=0). Второе доп усл заключается в задании нач импульса тела, к-рый можно определить из Зак. Сохр. Энергии: m(dG/dt)(Δt)=0ΔtF(τ)dτ=1. Переходя к lim при Δt0 получим: {dG/dt}(0)=1/m. Итак, для определения имп. р-ции необходимо решить следующую задачу:

{m(d2G/dt2)+r(dG/dt)+kG=0,

{t>0

{G(0)=0;

{dG/dt(0)=1/m

Её реш-е представимо в виде: G(t)=c1u1(t)+c2u2(t)

Удовл. нач усл-ям, получим СЛАУ:{0= c1u1(0)+c2u2(0)

{1/m=c11(0)+c22(0)

Заметим, что определитель этой СЛАУ яв-ся опр-ем Вронского и 0  СЛАУ разрешима и причём единственным образом. Это значит, что импульсная р-ция системы  и определяется единственным способом. Выразим частное реш ДУ (*) через имп. р-цию: Для построения частного решения Uf через импульсную реакцию (принципом наложения): Апроксимируем ф-ию кусучно гладкими ф-ми так как покзана на рисунке.Установим вклад заштрихованного столбика силы, действующего момент времени τ, в реакцию системы в момент t. duf (t)=F(τ) dτ G(t-τ); {t-τ=ξ; dτ=-dξ}

uf (t)=0t F(τ)G(t-τ)dτ= … …=0tG(ξ)F(t-ξ)dξ (**)

Записанный интеграл выражает частное решение ДУ (*) через импульсную р-цию системы и наз-ся интегралом наложения. Если F(t) непрерывна, то построенное ч.р. удовлетворяет однородному начальному условию: uf(0)=ufʹ(0)=0 .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]