Вопрос 1)Обыкновенные ду с постоянным коэфиц.

их базисные решения.

Р/м св-ва на примере колебаний маятника.

Применяя II З. Ньютона, получим ОДУ опис-е его движение: m(d²u/dt²)+r(du/dt)+ku=F (*)

Первое слагаемое описывает инерционное св-во маятника, второе – сопротивление среды, а третье – внутр хар-ки маятника. Обозначим диф оп-р, порождающий ур-е, буквой D: D=m(d²/dt²)+r(d/dt)+k, тогда:Du=F. D(αU₁+βU₂)=αDU₁+βDU₂.Заметим, что оп-р D линеен. Св-во линейности очень важно оно позволяет применить метод суперпозции(наложения).В соответствии с общей теорией лин ур-й, реш-е ур-я (*) имеет вид: u(t)=u _f (t)+u ₀(t), где u_f – к-либо частное реш-е, а u₀ – реш-е однородного ДУ.Известно, что лин ОДУ имеет ровно столько лин независ решений, каков порядок ДУ и они представимы в виде: u₀(t)=c₁u₁(t)+c₂u₂(t), где c₁, c₂ – произвольные константы.

Мн-во ф-ций u_k(t) образуют фундаментальную систему оп-ра D (ядро) {u _k}=kerD В дальнейшем мн-во u_k будем назвать базисными ф-циями. Их легко построить методом Эйлера. Базисные ф-ции отыскиваются в виде: u_k(t)=e^{p[k] t}. После подстановки в (*), получается алгебраическое ур-е относительно p_k, оно наз-ся характерестическим: mp²+rp+k=0. В зависимости от m, r, k возможны варианты:

1) Корни вещественны и различны (p₁ и p₂). Базисные решение имеют вид: u₁=e^{p[1] t}; u₂=e^{p[2] t}.

2) Корни комплексные: p_1,2=λ±iω.Решения:u_1,2=e^{(λ ± i ω)t}. В этом случае в кач-ве базисного решения исп-ся Re и Im части: {u₁=e^λ sinωt; u₂= e^λ cosωt.}

3) Корни вещественны и равны: u₁=e^pt; u₂=te^pt.

В о всех 3-ех случаях ф-ии U₁ иU₂ линейно независимы. Мн-во линейно независимых решений однородного ур-ия(*) называется фундаментальной системой решений ДУ.Это мн-во называют(ker Д)-ядро оператора Д₀.Ф-ии не из этого мн-ва называют базисными ф-ми ДУ(*).Если базисные ф-ии известны, то ф-ия U₀ в силу линейности оператора Д представлена в виде:

U₀(t)=C₁U₁(t)+C₂U₂(t) где С₁ и С₂ –const.Общее решение ДУ(*) может быть представлено в виде:

U(t)=U_f(t)+C₁U₁(t)+C₂U₂(t)

Вопрос 2)Построение частного решения методом импульсной реакции

m(d²u/dt²)+r(du/dt)+ku=F (*)

Построем частное реш ОДУ (*) методом импульсной

р-ции. Суть метода в том, что строится вспомогательная ф-ция G(t) наз-я импульсной р-цией системы. Она имеет смыс реакции системы на короткий единичный импульс. Ф-ия G(t) называется импульсной реакцией потому что сила F должна быть нормирована по правилу (условие): ₀^Δt F(t)dt=1. В силу инерционности маятника он не успевает получить смещение, но приобретает начальный импульс. Ф-ция G при t>Δt должна удовлетворять однородному ур-ю (*) и нулевому нач усл (G(0)=0). Второе доп усл заключается в задании нач импульса тела, к-рый можно определить из Зак. Сохр. Энергии: m(dG/dt)(Δt)=₀^ΔtF(τ)dτ=1. Переходя к lim при Δt0 получим: {dG/dt}(0)=1/m. Итак, для определения имп. р-ции необходимо решить следующую задачу:

{m(d²G/dt²)+r(dG/dt)+kG=0,

{t>0

{G(0)=0;

{dG/dt(0)=1/m

Её реш-е представимо в виде: G(t)=c₁u₁(t)+c₂u₂(t)

Удовл. нач усл-ям, получим СЛАУ:{0= c₁u₁(0)+c₂u₂(0)

{1/m=c₁uʹ₁(0)+c₂uʹ₂(0)

Заметим, что определитель этой СЛАУ яв-ся опр-ем Вронского и 0  СЛАУ разрешима и причём единственным образом. Это значит, что импульсная р-ция системы  и определяется единственным способом. Выразим частное реш ДУ (*) через имп. р-цию: Для построения частного решения U_f через импульсную реакцию (принципом наложения): Апроксимируем ф-ию кусучно гладкими ф-ми так как покзана на рисунке.Установим вклад заштрихованного столбика силы, действующего момент времени τ, в реакцию системы в момент t. du_f (t)=F(τ) dτ G(t-τ); {t-τ=ξ; dτ=-dξ}

u_f (t)=₀^t F(τ)G(t-τ)dτ= … …=₀^tG(ξ)F(t-ξ)dξ (**)

Записанный интеграл выражает частное решение ДУ (*) через импульсную р-цию системы и наз-ся интегралом наложения. Если F(t) непрерывна, то построенное ч.р. удовлетворяет однородному начальному условию: u_f(0)=u_fʹ(0)=0 .