
- •Вопрос 1)Обыкновенные ду с постоянным коэфиц.
- •Вопрос 2)Построение частного решения методом импульсной реакции
- •Вопрос 3)переходная ф-ия интеграл Дюамеля
- •Вопрос 4) Задача Коши, двухточечная задача
- •Вопрос 5)Метод комплексных амплитуд
- •Вопрос 6)Частное решение при периодической правой части
- •Вопрос 7)Преобразование Лапласа и его применение для построения частного решения
- •Вопрос 8)Преобразование Фурье и его применение для построения частного решения.
- •Вопрос 9)Уравнение Эйлера, его базисные решения
- •Вопрос 10) Уравнение Бесселя, его базисные решения
- •Вопрос 11)Графики ф-ии бесселя,модифицированное уравнение Бесселя,графики модифицированных ф-ий Бесселя
- •Вопрос 12)Ортогональность ф-ии Бесселя,ряд Фурье Бесселя
- •Вопрос 13) Ур-ие Лежандра, полином Лежандра, их графики
- •Вопрос 14)ортогональность полиномов Лежандра
- •Вопрос 15)Присоединенные полиномы Лежандра
- •Вопрос 16)Основные ур-ия математической физики. Корректность постановки задач математической физики
- •Вопрос 17) Безвихревое стационарное обтекание тел жидкостью, газом.
- •Вопрос 18)Ур-ие теплопроводности, постановка задачи для него.
- •Вопрос 19)Ур-ие малых колебаний струны, начальные и краевые условия
- •Вопрос 20)Электростатическое поле между заряженными проводящими телами
- •Вопрос 21)Ур-ие Максвела, телеграфные ур-ия для векторов поля.
- •Вопрос 22)Ур-ие Лапласа, основные св-ва гармонических ф-ии
- •Вопрос 23)Краевые задачи для ур-ия Лапласа
- •Вопрос 24)Конечно разностная аппроксимация ур-ия Лапласса
- •Вопрос 25)Фундаментальное решение ур-ия Лапласса
- •Вопрос 26)Основное тождество гармонических ф-ий
- •Вопрос 27) Электростатическая интерпретация основного тождества
- •Вопрос 29)Единственность решения внешней задачи Дирихле и Неймана
- •Вопрос 28)Единственность решения внутренних задач Дирихле и Неймана
- •Вопрос 30) Метод Фурье общая схема
- •Вопрос 31)Разделение переменных в полярных координатах
- •Вопрос 32)Решение задач Дирихле и Неймана для круга
- •Вопрос 33)Электростатическое поле внутри и вне диэлектрического цилиндра помещенного во внешнее поле е0
- •Вопрос 34)Разделение переменных в декартовых координатах.
- •Вопрос 35) Решение задачиДирихле для прямоугольника
- •Вопрос 36)Разделение переменных в цилиндрических координатах
- •Вопрос 37)Стационарное температурное поле внутри цилиндра
- •Вопрос 38) Метод ф-ии Грина.Ф-ия Грина,задачи дирихле
- •Вопрос 39)Приближенное построение ф-ии Грина
- •Вопрос 40)ф-ия Грина задачи Неймана,её св-ва
- •Вопрос 41)Решение задачи Дирихле для полупространства.
- •Вопрос 42)Решение задачи Дирихле для круга
- •Вопрос 43) Плоские гармонические векторные поля и методы их исследования.
- •Вопрос 44) Метод комфортных отображений. Интеграл Пуассона для полуплоскости.
- •Вопрос 47)Ур-ие Лапласса и вариационный принцип Дирихле
- •Вопрос 48) Метод Ритца
- •Вопрос 49)Методы взвешенных невязок,метод коллокации
- •Вопрос 50)Метод наименьших квадратов
- •Вопрос 51)Метод Галёркина
- •Вопрос 52)Граничные интегральные ур-ия.Решение задачи Дирихле Методом гиу
- •Вопрос 53)Решение задачи Неймана методом гиу
- •Вопрос 54)Теорема Фредгольма
- •Вопрос 1)Потенциалы простого и двойного слоев. Теорема о потенциале простого слоя
- •Вопрос 2)Теорема о потенциале двойного слоя
- •Вопрос 3)Применение потенциалов для решения краевых задач для ур-ия Лапласа. Задача Робэна
- •Вопрос 5)Решение задачи Неймана методом иу
- •Вопрос 6)Решение задачи Дирихле методом иу
- •Вопрос 7) Решение ур-ия Пуассона,теорема об объемном потенциале
- •Вопрос 8)Ур-ие диффузии,постановка начально-краевых задач для него
- •Вопрос 9) Теорема единствености реш-я начальн краев. Задач для ур-я диффузии
- •Вопрос 10) Метод конечных разностей для ур-я диффузии
- •Вопрос 11) Метод установления для ур-я Лапласа. Эволюц. Метод
- •Вопрос 12) Метод разделения переем. (Фурье) для ур-я диффузии.
- •Вопрос 13) Примен. Преобр-я Лапласа для реш. Ур-я дифф
- •Вопрос 14) Прогревание полупространства. Задача Релея.
- •Вопрос 15) Интеграл Дюамеля.
- •Вопрос 20) Фундамент р-ние ур-ния тепло-сти в своб. Пр-ве
- •Вопрос31 ) Решение неоднородного волнового ур-ния. Запаздывающий интеграл.
- •Вопрос 29)Волны в полуограниченной струне.
- •Вопрос 17) Расчет критических размеров при цепных реакциях
- •Вопрос 46) Решение задачи Дирихле для полосы
- •Вопрос 45)Решение задачи Дирихле для круга.
- •Вопрос 16)Температурные волны.
- •Вопрос 18)Интегродифференциальные ур-ния начальных краевых задач для ур-ия диффузии.
- •Вопрос 19) Скин эффект в проводнике произвольного сечения.
- •Вопрос 20)Фундамент р-ние ур-ния тепло-сти в своб. Пр-ве.
- •Вопрос 35)свободны колебания прямоугольной мембраны
- •Вопрос 36)Рассчитать свободные колебания круглой мембраны радиуса b, обусловленной не нулевым начальным отклонением и начальной скоростью. Повторить все в полярных координатах
- •Вопрос 37)Сведения начально-краевой задачи для волнового ур-ия к интегро-диференц. Ур-ию
- •Вопрос 40) Электро магнитные колебания в объемном резонаторе
- •Вопрос 41)Метод конечностных разностей для волнового ур-ия
- •Вопрос 21) Задача Коши для однородного уравнения теплопроводности
- •Вопрос 22) Цилиндрически и сферически симметричное решение уравнения теплопроводности
- •Вопрос 23) Волновое уравнение
- •Вопрос 24)Интеграл энергии и теорема единственности решения начально краевых задач для струны
- •Вопрос 30)Сферические волны.
- •Вопрос 33) Колебания в ограниченных объемах.
- •Вопрос 25) Эл. Колебания в длин линии.
- •Вопрос 26) эм колеб-ия в объемном резонаторе.
- •Вопрос 32) Запаздывающие потенциалы а эл/дин
Вопрос 1)Обыкновенные ду с постоянным коэфиц.
их базисные решения.
Р/м св-ва на примере колебаний маятника.
Применяя II З. Ньютона, получим ОДУ опис-е его движение: m(d2u/dt2)+r(du/dt)+ku=F (*)
Первое слагаемое описывает инерционное св-во маятника, второе – сопротивление среды, а третье – внутр хар-ки маятника. Обозначим диф оп-р, порождающий ур-е, буквой D: D=m(d2/dt2)+r(d/dt)+k, тогда:Du=F. D(αU1+βU2)=αDU1+βDU2.Заметим, что оп-р D линеен. Св-во линейности очень важно оно позволяет применить метод суперпозции(наложения).В соответствии с общей теорией лин ур-й, реш-е ур-я (*) имеет вид: u(t)=u f (t)+u 0(t), где uf – к-либо частное реш-е, а u0 – реш-е однородного ДУ.Известно, что лин ОДУ имеет ровно столько лин независ решений, каков порядок ДУ и они представимы в виде: u0(t)=c1u1(t)+c2u2(t), где c1, c2 – произвольные константы.
Мн-во ф-ций uk(t) образуют фундаментальную систему оп-ра D (ядро) {u k}=kerD В дальнейшем мн-во uk будем назвать базисными ф-циями. Их легко построить методом Эйлера. Базисные ф-ции отыскиваются в виде: uk(t)=ep[k] t. После подстановки в (*), получается алгебраическое ур-е относительно pk, оно наз-ся характерестическим: mp2+rp+k=0. В зависимости от m, r, k возможны варианты:
1) Корни вещественны и различны (p1 и p2). Базисные решение имеют вид: u1=ep[1] t; u2=ep[2] t.
2) Корни комплексные: p1,2=λ±iω.Решения:u1,2=e(λ ± i ω)t. В этом случае в кач-ве базисного решения исп-ся Re и Im части: {u1=eλ sinωt; u2= eλ cosωt.}
3) Корни вещественны и равны: u1=ept; u2=tept.
В
о
всех 3-ех случаях ф-ии U1
иU2
линейно независимы. Мн-во линейно
независимых решений однородного
ур-ия(*) называется фундаментальной
системой решений ДУ.Это мн-во называют(ker
Д)-ядро оператора Д0.Ф-ии
не из этого мн-ва называют базисными
ф-ми ДУ(*).Если базисные ф-ии известны,
то ф-ия U0
в силу линейности оператора Д представлена
в виде:
U0(t)=C1U1(t)+C2U2(t) где С1 и С2 –const.Общее решение ДУ(*) может быть представлено в виде:
U(t)=Uf(t)+C1U1(t)+C2U2(t)
Вопрос 2)Построение частного решения методом импульсной реакции
m(d2u/dt2)+r(du/dt)+ku=F (*)
Построем частное реш ОДУ (*) методом импульсной
р-ции. Суть метода в том, что строится вспомогательная ф-ция G(t) наз-я импульсной р-цией системы. Она имеет смыс реакции системы на короткий единичный импульс. Ф-ия G(t) называется импульсной реакцией потому что сила F должна быть нормирована по правилу (условие): 0Δt F(t)dt=1. В силу инерционности маятника он не успевает получить смещение, но приобретает начальный импульс. Ф-ция G при t>Δt должна удовлетворять однородному ур-ю (*) и нулевому нач усл (G(0)=0). Второе доп усл заключается в задании нач импульса тела, к-рый можно определить из Зак. Сохр. Энергии: m(dG/dt)(Δt)=0ΔtF(τ)dτ=1. Переходя к lim при Δt0 получим: {dG/dt}(0)=1/m. Итак, для определения имп. р-ции необходимо решить следующую задачу:
{m(d2G/dt2)+r(dG/dt)+kG=0,
{t>0
{G(0)=0;
{dG/dt(0)=1/m
Её реш-е представимо в виде: G(t)=c1u1(t)+c2u2(t)
Удовл. нач усл-ям, получим СЛАУ:{0= c1u1(0)+c2u2(0)
{1/m=c1uʹ1(0)+c2uʹ2(0)
Заметим, что определитель этой СЛАУ яв-ся опр-ем Вронского и 0 СЛАУ разрешима и причём единственным образом. Это значит, что импульсная р-ция системы и определяется единственным способом. Выразим частное реш ДУ (*) через имп. р-цию: Для построения частного решения Uf через импульсную реакцию (принципом наложения): Апроксимируем ф-ию кусучно гладкими ф-ми так как покзана на рисунке.Установим вклад заштрихованного столбика силы, действующего момент времени τ, в реакцию системы в момент t. duf (t)=F(τ) dτ G(t-τ); {t-τ=ξ; dτ=-dξ}
uf (t)=0t F(τ)G(t-τ)dτ= … …=0tG(ξ)F(t-ξ)dξ (**)
Записанный интеграл выражает частное решение ДУ (*) через импульсную р-цию системы и наз-ся интегралом наложения. Если F(t) непрерывна, то построенное ч.р. удовлетворяет однородному начальному условию: uf(0)=ufʹ(0)=0 .