Вариант 4

1. Дано: . Найти:

а) косинус угла между векторами ;

б) площадь параллелограмма построенного на векторах .

2. Найти вектор , если он перпендикулярен векторам , и удовлетворяет условию , где .

3. Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки М₁(-2, 1, 5) и

М₂(3, 4, 1) с плоскостью xOy.

4. Найти точку пересечения плоскости Ox с плоскостью, проходящей через точки А(4, 1, 1), В(2, 1, 5), C(4, 5, 3).

5. Найти расстояние от точки А(2, 4, 1) до прямой, проходящей через точки

B(1, 5, 3) и C(6, 2, 7).

6. Найти расстояние от точки D(3, 8, 9) до плоскости, проходящей через точки A(2, 4, 1), B(1, 5, 3) и C(6, 2, 7).

7. Даны три вершины треугольника A(4; -1), B(12; 5), C(16; 3). Найти:

а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины В;

б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины В.

8. Даны вершины пирамиды: A₁(1; 5; 3), A₂(1; 2; 2), A₃(2, 4, 2), A₄(0; 0; 5)

Составить:

а) уравнение ребра А₁ А₄;

б) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

в) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А₄ ;

г) Найти координаты точки О, где О – точка плоскости А₁А₂А₃, в которую проектируется вершина А₄.

Вариант 5

1. Дано: . Найти:

а) косинус угла между векторами ;

б) площадь параллелограмма построенного на векторах .

2. Найти вектор , если он перпендикулярен векторам , и удовлетворяет условию , где .

3. Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки М₁(-2, 1, 5) и

М₂(3, 4, 1) с плоскостью xOz.

4. Найти точку пересечения плоскости Oy с плоскостью, проходящей через точки А(4, 1, 1), В(2, 1, 5), C(4, 5, 3).

5. Найти расстояние от точки А(4, 2, 1) до прямой, проходящей через точки

B(3, 5, 2) и C(5, 5, 3).

6. Найти расстояние от точки D(1, 0, 0) до плоскости, проходящей через точки A(4, 2, 1), B(3, 5, 2) и C(5, 5, 3).

7. Даны три вершины треугольника A(5; 8), B(12; 9), C(9; 0). Найти:

а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины В;

б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины В.

8. Даны вершины пирамиды: A₁(2; 1; 0), A₂(0; 5; 0), A₃(0, 1, 2), A₄(3; 5; 3)

Составить:

а) уравнение ребра А₁ А₄;

б) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

в) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А₄ ;

г) Найти координаты точки О, где О – точка плоскости А₁А₂А₃, в которую проектируется вершина А₄.

Вариант 6

1. Дано: . Найти:

а) косинус угла между векторами

б) площадь параллелограмма построенного на векторах

2. Найти вектор , если он перпендикулярен векторам , и удовлетворяет условию , где .

3. Найти точку пересечения прямой, проходящей через точки М₁(-2,1,5) и М₂(3,4,1) с плоскостью xOz.

4. Найти точку пересечения плоскости Oz с плоскостью, проходящей через точки А(4,1,1), В(2,1,5), C(4,5,3).

5. Найти расстояние от точки А(2,5,1) до прямой, проходящей через точки B(4,2,3) и C(7,1,5).

6. Найти расстояние от точки D(0,0,0) до плоскости, проходящей через точки A(2,5,1), B(4,2,3) и C(7,1,5).

7. Даны три вершины треугольника A(5; 2), B(6; 9), C(-3; 6). Найти:

а) уравнение и длину медианы, проведенной из вершины В;

б) уравнение и длину высоты, проведенной из вершины В.

8. Даны вершины пирамиды: A₁(0; 4; 0), A₂(0; 0; 3), A₃(1, 2, 1), A₄(7; 0; 0)

Составить:

а) уравнение ребра А₁ А₄;

б) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

в) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А₄ ;

г) Найти координаты точки О, где О – точка плоскости А₁А₂А₃, в которую проектируется вершина А₄.