3.4. Экспериментальные методы получения моделей технологических объектов

3.4.1. Одномерные модели

Экспериментальное исследование технологических объектов и входящих в их состав звеньев обычно имеет целью подтверждение правильности моделей, составленных аналитическими методами. Однако возможны случаи, когда аналитическая модель отсутствует. Это возможно, если объект недостаточно изучен или если разработка аналитической модели до проведения экспериментальных исследований слишком трудоемка и экономически не оправдана. В таких случаях ставится задача получения моделей на основе обработки результатов эксперимента.

Процесс установления соответствия итогов экспериментальных исследований теоретическим представлениям об исследуемом объекте принято называть идентификацией (опознаванием) объекта. Этот термин введен в немалой степени потому, что результаты экспериментальных исследований зависят от ряда трудно учитываемых факторов, многие из которых имеют случайный характер. К таким факторам относятся:

• разброс параметров изучаемых объектов;

• изменение параметров объектов в процессе испытаний, в том числе и отказы оборудования;

• разброс параметров обрабатываемых заготовок и материалов;

• разброс показаний (погрешности) измерительной аппаратуры.

Действие указанных факторов приводит к тому, что при одних и тех же входных (управляющих) воздействиях в разных сериях испытаний значения выходных параметров испытуемого объекта получаются различными. При моделировании технологического объекта по результатам экспериментальных исследований возникает задача оценки разброса выходных параметров и определения их однозначной (детерминированной) зависимости от управляющих воздействий в условиях действия случайных факторов. Для получения надежной детерминированной модели технологического объекта в условиях разброса результатов экспериментальных исследований используют методы теории вероятностной (см. приложение 2), на которых основан регрессионный анализ результатов эксперимента.

Регрессией выходного параметра y на входной параметр x мы будем называть любую функцию f(x), приближенно представляющую вероятностную зависимость y от x. В результате функция y представляется в виде суммы:

y=f(x)+h(x, y)

где h (x, y) – поправочный член.

На первый план обычно выдвигается задача определить, как в среднем изменяется величина y при изменении управляющего воздействия x. Эта задача лучше всего решается с помощью функции регрессии y=g(x), где

, (3.7)

где m – количество различных значений y, полученных из опытов, произведенных при заданном значении x;

- значения y, полученные при заданном значении x;

( ) – условная вероятность того, что y=y_j при заданном значении x.

При практическом определении y=g(x) исходят из соотношения;

, (3.8)

где k – количество произведенных измерений величины y при x=x_i.

При k→∞ имеет место y_i→g (x_i).

Функция регрессии g(x) отличается тем, средний квадрат отклонения ее от искомой функции y(x) меньше среднего квадрата отклонения y от любой другой функции f(x), приближенно представляющей вероятностную зависимость y(x). В общем случае функция регрессии имеет нелинейный характер, в связи с чем возникает задача ее линеаризации. Наилучшем линейным приближением вероятностной зависимости y(x) является линейная регрессия y на x, которая может быть представлена в таком виде:

, (3.9)

где y₀ - среднее значение y в заданном диапазоне измерения x:

, (3.10)

x₀ - среднее значение x в заданном диапазоне:

, (3.10’)

n – количество экспериментальных точек y(x) на аппроксимируемом интервале;

S_y и S_x – несмещенные стандартные отклонения y и x от их средних значений:

, (3.11)

, (3.11’)

r – эмпирический коэффициент корреляции:

. (3.12)

Зависимость (3.9) называют эмпирической прямой регрессии, причем коэффициент r, который принимает значения , показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена величина y в виде линейной функции от x. Если все экспериментальные точки y(x) лежат на одной прямой, то │r│=1, а линейная зависимость y(x) является абсолютно точной. При r=0 величины y и x являются некоррелированными. Отсюда следует, что при малых r связывать y и x линейной зависимостью не имеет смысла.

Пример 3.1. В таблице 3.1 приведена зависимость тока I, потребляемого нагревательным элементом, от напряжения U на его клеммах. Данные записывались один раз в сутки. Числа m показывают, сколько раз записывались одинаковые пары U и I. Считая зависимость I (U) линейной, определить сопротивление R_н нагревательного элемента.

Таблица 3.1

Обозначаем U=x, а I=y и по формулам 3.10-3.12 (учитывая, что общее количество точек I (U); с учетом m, равно 26,т.е. n=26) определяем: x₀=25,5; y₀=0,248; S_x=1,49; S_y=0,0185; r=0,793.

Соответственно линейная регрессия y на x согласно (3.9), такова:

После упрощения и возврата к U и I получим I≈0,0098 U; Ом.

Если линейная регрессия неудовлетворительна (коэффициент корреляции r близок к нулю), то применяют более точные аппроксимации уравнения регрессии (3.7) с помощью полинома вида

, m>1,

называемого параболической регрессией порядка m, или с помощью функции

y=ae^bx,

называемой экспоненциальной регрессией, особенно полезной при идентификации поведения технологического объекта в динамике. Коэффициенты аппроксимирующих функций выбирают таким образом, чтобы было минимизировано суммарное квадратичное отклонение вида (3.1) избранной регрессии от экспериментальных данных.