Пример спектра ПППВИ
(Расчеты сделать самостоятельно с использованием MathCAD)
Общая теория связи |
Лекция #3 |
31 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Спектры непериодических сигналов.
В подавляющем большинстве случаев в теории и технике связи приходится иметь дело с сигналами, которые по существу являются непериодическими. К таким сигналам аппарат рядов Фурье не применим.
Модель непериодического сигнала как предельного случая периодического сигнала , когда период повторения стремится к
Устремим в периодическом сигнале T или |
f1 = 1/T = 1/2 |
|||||||||||
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
& |
|
|
|
& j T |
kt |
|
jk 1t |
|
|||||||
|
s( t k T ) |
Ck e |
|
|
s(t) |
|
CkTe |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
k |
|
|
|
|
2 k |
|
|
|
|||
где = 1 = k 1 |
– (k – 1) 1 =2π/T — разность между частотами |
|
||||||||||
соседних гармоник |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
& |
|
|
Ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
S( j ) lim CkT |
lim |
|
|
2 |
спектральная плотность сигнала |
|
||||||
|
|
|||||||||||
|
T |
|
0 |
|
|
|||||||
|
Общая теория связи |
Лекция |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
#3 |
|
|
|
|
|
32 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Физический смысл спектральной плотности сигнала
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование Фурье можно записать следующим образом
1
s(t) S ( j ) cos[ t ( )]d
0
1 |
S( j )d e j t |
1 |
S( )d cos[ t ( )] |
||||
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|||||
|
|
S( j ) |
|
|
Am |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
d |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Спектральная плотность сигнала является комплексной амплитудой эквивалентной гармоники на соответствующей опорной частоте .
Эквивалентная гармоника есть результат когерентного сложения бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами расположенными в бесконечно малом по частоте диапазоне в районе выбранной (опорной) частоты.
Общая теория связи |
Лекция |
#3 |
33 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ и ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ГАРМОНИКА
Общая теория связи |
34 |
|
Лекция #3 |
||
|
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Математический и Физический спектр непериодического сигнала
Сопоставим комплексную и амплитудно-фазовую формы ОПФ.
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование Фурье можно записать следующим образом
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
s(t) |
|
|
|
2S ( ) cos[ t ( )]d |
||||
|
|
2 |
|
|||||||
1 |
|
j t |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 S( j )d e |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
s(t) |
|
|
|
S ( ) e j [ t ( )]d |
||||||
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2S ( ); 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
S ( ) 2S ( ) ( ) S(0); |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
Общая теория связи |
Лекция |
#3 |
35 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Прямое и обратное преобразование Фурье
S( j ) s(t)e j t dt -ППФ
Прямое преобразование Фурье – операция анализа сигнала на основе определения его спектральных составляющих.
|
1 |
|
|
s(t) |
S( j )e j t d -ОПФ |
||
2 |
|||
|
|
Обратное преобразование Фурье для сигнала s(t) - операция синтеза, поскольку с ее помощью сигнал восстанавливается (синтезируется) из спектральных составляющих.
s(t) S&( j )
Общая теория связи |
Лекция |
#3 |
36 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Свойства преобразования Фурье (для самостоятельного повторения)
№ |
Название теоремы |
п/п |
|
1Теорема сложения
2 Теорема временного сдвига
3 Теорема смещения (модуляции)
4 Теорема об изменении масштаба
5 Теорема о дифференцировании
6Теорема об интегрировании
7 |
Теорема о свёртке |
Преобразование Фурье
Временное представление |
Спектральное представление |
S(t) S1 (t) S2 (t)
S1 (t) S(t mt0 )
S1(t) S(t)e |
j 0t |
||||
|
|||||
S (t) S |
|
t |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|||||
|
a |
|
|||
S1 (t) dS(t) dt
S1 (t) t S(t)dt
S(t) S1 ( )S2 (t )d S1(t)* S2 (t)
S(t) 1 S( j )e j t d
2
S( j ) S(t)e j t dt
S( j ) S1 ( j ) S2 ( j )
S1 ( j ) S ( j )emj t0
S1( j ) S( j( m 0 ))
S1 ( j ) aS( ja )
S1 ( j ) j S( j )
|
|
1 |
|
S1 |
( j ) |
|
S( j ) |
|
|||
|
j |
||
S( j ) S1 ( j )S2 ( j )
Общая теория связи |
Лекция |
#3 |
37 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Свойства преобразования Фурье
Теорема сложения спектров: спектр суммы колебаний равен сумме спектров слагаемых колебаний.
Теорема временного сдвига (запаздывания): при сдвиге колебания во времени (изменении начального момента отсчёта времени) спектральная плотность амплитуд сохраняется постоянной, а спектр фаз изменяется на величину, пропорциональную частоте и времени сдвига с учётом его знака.
Теорема смещения (модуляции): умножение колебания S(t) на |
e j 0t |
приводит к смещению его спектра на величину ω0. |
|
Теорема об изменении масштаба: растяжение колебания во |
времени |
(a>1) влечёт за собой сжатие его частотного спектра и увеличение спектральной плотности амплитуд. Сжатие колебания во времени (a<1) приводит к расширению его частотного спектра и уменьшению спектральной плотности амплитуд.
Теорема о свёртке: спектр свёртки двух колебаний S1(t) и S2(t) соответствует произведению их спектров.
Общая теория связи |
Лекция |
#3 |
38 |