Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций. им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Геометрическая структура пространства сигналов
Метрика пространства сигналов
Для усовершенствовании структуры пространства вводится расстояние между его элементами, которое называют также метрикой.
Каждой паре элементов пространства ставится в соответствие положительное число, которое трактуется как расстояние между элементами. В качестве расстояния используется
функционал d(x,y) = R, называемый метрикой и обладающий следующими
свойствами:
•d(x,y) ≥ 0 и d(x,y) = 0, только если x = y;
•d(x,y) = d(y,x) – cвойство симметрии;
• |
|
|
|
|
|
|
|
d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) – неравенство треугольника. |
|||||||
В качестве метрики можно выбрать величину |
d (x, y) |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Линейное метрическое пространство с квадратичной нормой обозначается: |
|||||||
Вещественное L2 |
комплексное С2 |
|
|
|
|
|
|
Общая теория связи |
|
Лекция |
|
|
|
|
|
#3 |
|
|
|
|
11 |
||
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Геометрическая структура пространства сигналов
Скалярное произведение сигналов
Найдем энергию суммы двух сигналов u(t) и v(t).
u( t ) v( t )
2 u( t )2 dt v( t )2 dt 2 u( t )v ( t )dt
T T T
Если сигналы рассматривать как вектора U и V получим
U V 2 U 2 V 2 2 U V cos( )
Где (U ,V ) U V cos( )
UV
-скалярное произведение двух векторов
-угол между векторами
Сопоставляя сигналы с векторами в пространстве L2 получим что скалярное произведение двух сигналов
( u( t ),v( t )) u( t )v ( t )dt 
u( t )
v( t )
cos( )
T
Линейное пространство со скалярным произведением сигналов называется Гильбертовым
#3 |
12 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Свойства скалярного произведения сигналов
Для комплексных сигналов скалярное произведение должно удовлетворять следующим условиям:
(x, y) = (y, x)* , где знак * означает комплексно сопряженную величину;
(αx, y) = α(x, y);
(x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y); (x, x) ≥ 0.
Ортогональность двух сигналов
Если скалярное произведение равно нулю, значит взаимная энергия этих сигналов равна нулю , и такие сигналы - ортогональные.
O |
|
|
|
2 |
|
Если UVградусов90 |
радиан |
|
|||
2 ) 0
то скалярное произведение двух сигналов не обязательно равно нулю .
Например у двух комплексных сигналов U и V при UV реальная часть
2
скалярного произведения будет равна нулю, а мнимая может не равняться нулю.
Общая теория связи |
Лекция |
#3 |
13 |
Евклидово расстояние между двумя сигналами, представляющие два разных символа
Если S2(t) = 0 то имеем систему передачи с пассивной паузой S1(t) = Uc sin ( 0t + ), t 0,T , S1(t) = 0
(S0 , S1) 1 T S0 (t)S1(t)dt 0
T 0
d 2 (S0 (t), S1 (t)) T S02 (t)dt E1
0
Общая теория связи |
Лекция #3 |
14 |
Евклидово расстояние между двумя сигналами, представляющие два разных символа
S1(t) = Uc cos ( 1t + 1), |
|
t 0,T , |
S2(t) =Uc cos ( 2t + 2). |
|
|
||||||
|
Пусть 1= 2 k1/T, |
2= 2 k2/T τ, |
где k1 и k2 — целые числа, |
|
|
||||||
|
1 и 2 принимают любые значения. Тогда: |
|
|
|
|
||||||
( S1 |
, S2 ) |
1 |
T S1( t )S2 ( t )dt |
1 |
U1 U2 |
T cos( |
2 k1t |
1 ) cos( 2 k2t |
2 )dt |
0 |
|
T |
|
||||||||||
|
|
0 |
T |
0 |
T |
T |
|
|
|||
T T T T
d 2 (S1(t), S2 (t)) S1(t) S2 (t) 2 dt S12 (t)dt S22 (t)dt 2 S1(t)S2 (t)dt E0 E1 2E,
0 0 0 0
Общая теория связи |
Лекция #3 |
15 |
|
Евклидово расстояние между двумя сигналами, представляющие два разных символа
Чем меньше Евклидово расстояние между двумя сигналами, представляющие два разных символа, тем проще перепутать эти символы при приеме, особенно в условиях, когда полезные сигналы искажаются помеховыми сигналами (например, когда полезный сигнал в канале передачи векторно складываются с помехой).
Важно!!! Помехоустойчивость системы передачи зависит от расстояния между сигналами.
Общая теория связи |
16 |
|
Лекция #3 |
||
|
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Базисные сигналы
В линейном пространстве сигналов можно определить совокупность линейно независимых сигналов {ei(t)} таких, что весовая сумма iei=0 возможна только при
одновременном равенстве нулю всех коэффициентов . Эти сигналы называются
координатным базисом. Базисные сигналы попарно ортогональные.
Обобщенный ряд Фурье
Если выбраны сигналы координатного базиса, то любой сигнал s(t) в линейном пространстве может быть представлен взвешенной суммой ортогональных сигналов
координатного базиса |
Сiei(t)=s(t) |
Такое представление сигнала называется обобщенный ряд Фурье.
Французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768
Весовые коэффициенты этого ряда рассчитываются как скалярное
|
произведение сигнала s(t) и соответствующего i- того базисного сигнала ei(t): |
|||||||||||||||||||||||||||||
Ci |
( s( t ),ei ( t )) |
|
|
|
1 |
|
|
s( t )ei ( t )dt |
|
|
|
s( t ) |
|
|
|
|
|
|
|
ei ( t ) |
|
|
|
cos( i ) |
|
s( t ) |
|
cos( |
i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ei |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Совокупность коэффициентов обобщенного ряда Фурье {Сi} |
называется спектром |
||
сигнала s(t) в базисе ортогональных сигналов {e (t)} |
Лекция |
|
|
Общая теория связи |
i |
|
|
|
#3 |
|
17 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории электрических цепей и связи »
Выводы по первому вопросу
1.Сигналы в радиотехнике рассматриваются как проявления электромагнитного поля в элементах радиотехнических цепей в виде колебаний напряжения или тока.
2.Обобщенной математической моделью сигналов является их описание как элементов функционального пространства (векторов ).
3.Вещественные и комплексные сигналы можно рассматривать как элементы множества векторного линейного нормированного метрического пространства.
4.Скалярное произведение двух сигналов по физическому смыслу представляет собой взаимную энергию между двумя сигналами , действующими суммарно на сопротивление в один Ом.
5.Скалярное произведение двух сигналов определяется углом между ними. Если скалярное произведение равно нулю, то угол между двумя сигналами равен 90 градусов, и такие сигналы являются ортогональными. Обратное не верно.
6.Набор ортогональных сигналов называется координатным базисом пространства сигналов.
7.При известном базисе , любой сигнал можно представить взвешенной суммой сигналов ортогонального базиса в виде обобщенного ряда Фурье. Весовые коэффициенты этого ряда называются спектром сигнала.
Общая теория связи |
Лекция |
#3 |
18 |
Вопрос 2. Обобщенный ряд Фурье. Спектральные модели периодических и
Периодическим называют сигнал,непериодическихмгновенные значениясигналовкоторого повторяются через равные промежутки времени – Т
Модель такого сигнала имеет вид s t s t k T , k 0,1.. где Т- период повторения, а F=1/T-частота повторения периодического сигнала (ПС)
Основной математический аппарат спектрального анализа периодических сигналов –
ряд Фурье в базисе гармонических сигналов с кратными частотами.
Параметры и характеристики периодического сигнала q=
f=
|
2 |
T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a0 |
|
|
S( t )dtпостояннаясоставляющая |
|
|
|
|
T |
T / 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Общая теория связи |
Лекция |
19 |
|
|
|
|
#3 |
|
|
|
Формы спектрального представления периодического сигнала
Квадратурная
s( t k T ) |
s ( t ) |
a0 |
|
a |
|
cos( 2 kt ) b |
sin( 2 kt ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
2 |
T |
T |
|||||||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
||||
|
2 |
T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a0 |
T |
|
S( t )dtпостояннаясоставляющая |
|
|
|
|
|
T / 2 |
|
|
2 |
|
||
ak |
2 |
|
T / 2 |
S( t )cos( |
2 kt )dtамплитуда |
синфазных гармоник |
|
|
|
|
|
||||||
|
T T / 2 |
|
T |
|
|
|||
bk |
|
2 |
T / 2 |
S( t ) sin( |
2 kt )dtамплитуда |
квадратурных гармо |
ник |
|
|
|
|||||||
|
|
T T / 2 |
|
T |
|
|
||
|
|
|
|
Общая теория связи |
Лекция |
20 |
||
|
|
|
|
|
|
#3 |
|
|