Белоглазов Фильтрование технологических пульп

осадка (г, Лос) и фильтра (RJ. Так же, как и уравнение (1.138), его

интегрируют для двух случаев.

Для фильтрования с постоянным перепадом давлений после

В реальном процессе достичь постоянства давле­ ния на начальном этапе фильтрования практически невозможно, следовательно, на основании уравнения (1.145) можно сделать вывод о нарушении линейности

времени т, от начала фильтрования, необходимого для стабилизации

давления в агрегате.

Фильтрованию с постоянной скоростью подобный эксцесс не свойственен, и в качестве пределов интегрирования уравнения

Выражение (1.146) можно привести к виду

где К — константа, комплексно учитывающая физико-химические свойства осадка и фильтрата, м3/с; С — объем фильтрата, который, проходя через1 м2 фильтрующей поверхности,образует осадок, со­ противление которого равно сопротивлению фильтрующей пере­ городки, м3.

Отличие между ними заключается только в отсутствии коэф­ фициента 2 перед V, в уравнении (1.148).

Рутсом тоже был предложен раздельный учет сопротивлений

и в результате получим параболический закон фильтрования

61

где т0 — продолжительность образования слоя осадка с сопро­

тивлением, равным сопротивлению фильтрующей перегородки, с. Обозначив 2к' через К, перепишем уравнение (1.155) в виде

Графическое изображение полученной зависимости в коор­ динатах У—т и (У+С)— (т + т0) представлено на рис. 1.12, откуда

следует, что вершина кривой будет совпадать с началом координат лишь в том случае, если, кроме сопротивления осадка, учитывается сопротивление фильтрующей перегородки.

Последнее уравнение и является основой графического определе­

абсцисс — объемы собранного с единицы поверхности перегородки фильтрата V (рис. 1.13). Экстраполируя построенную по опытным точкам прямую до пересечения с абсциссой, находят величину константы С, а тангенс угла наклона прямой отвечает К.

В некоторых случаях априори известно удельное сопротивление осадка и перегородки г. Так, сопротивление перегородки может быть указано фирмой-производителем, а сопротивление осадка при проведении оценочных расчетов может быть принято в соответст­ вии сосправочными данными. Если все эти сведения имеются, константы фильтрования могут быть определены присовместном рассмотрении уравнений (1.148) и (1.149).

Константа фильтрования К, отнесенная к 1 м2 фильтрующей поверхности, связана с удельным сопротивлением осадка зависи­

Рис. 1.13. Экспериментальная зависимость Ах/АУ = /(V) для определения констант фильтрования К и С

Если константа Куд известна, то два последних выражения могут

также использоваться для определения удельного сопротивления слоя.

Аналогично

где Суд = C/F — константа С, отнесенная к 1 м2 фильтрующей поверхности, м3/м 2; гп — удельное сопротивление перегородки,

Н'С/м4.

Выражения (1.164) и (1.165) можно использовать и для опре­ деления ти гп.

Забегая вперед, отметим, что в случае процесса фильтрования с образованием сжимаемого осадка при вычислении констант К и С также пользуются подобными зависимостями [40, 62].

При нарушении структуры пор во время фильтрации удельное сопротивление осадка г растет. Можно предположить, что

показатель сжимаемости осадка, 0 < Ъ < 1. Для осадков, которые не изменяют свою структуру во время фильтрации, Ъ ® 0, а для осадков, изменяющих свою структуру (сжимаемых), Ъ * 1. Так, для осадка гидроксида алюминия b « 0,95.

Следовательно, константа Куд для сжимаемых осадков будет

Константа С в меньшей степени зависит от перепада давления при фильтрации, и для инженерных расчетов с достаточной долей точности можно пользоваться уравнением

64

Уравнения (1.167) и (1.168) наиболее часто используются для определения сопротивления ткани и осадка при известных констан­ тах фильтрования.

Необходимая поверхность фильтрования F определяется как отношение общей производительности передела по фильтрату О к удельной производительности V, рассчитываемой по основному уравнению фильтрования

поверхности фильтрации одного фильтра F' и коэффициента запаса г|з, который для фильтров различных типов и в зависимости от

фильтруемых сред колеблется в широких пределах [85]:

1.8. Фильтрование с образованием сжимаемого осадка

Уравнения кинетики процесса фильтрации с образованием не­ сжимаемого осадка (1.138) и (1.143) непригодны в случаях, когда сжимаемостью осадка пренебречь невозможно, что объясняется непостоянством давления жидкости в ходе процесса.

В сжимаемом осадке наибольшей деформации подвержены ближайшие к перегородке слои, а слои, более близкие к поверх­ ности осадка, сжимаются значительно меньше. Ввиду неравно­ мерного сжатия пористость осадка становится переменной по высоте слоя, а уменьшение ее во времени вызываетзначительное усложнение расчетов. Часто наряду со сжимаемостью осадка приходится учитывать и сжимаемость фильтрующей перегородки, что требует введения дополнительных поправок.

Таким образом, удельное сопротивление сжимаемого осадка возрастает по направлению от его наружной поверхности к пере­ городке. Ввиду этого зависимость давления в слое от его толщины отклоняется от линейной, характерной для несжимаемых осадков, и изображается выпуклой кривой. Усилие, вызывающее сжатие осад­ ка в произвольном его сечении, определяется разностью давлений на поверхности осадка рс и в рассматриваемом сечении. С умень­

шением толщины слоя осадка снижаются сжимающие его усилия (рис. 1.14). В произвольном сечении слоя осадка (показано на рисунке пунктиром) толщиной 62 перепад давления Др2 больше, чем

перепад давления Др, в более тонком слое толщиной 5,, при условии,

65

что 8j лежит внутри 82. Отсюда следует, что с уменьшением тол­ щины слоя сжимаемого осадка его пористость при прочих равных условиях возрастает [63].

(не подвергается возмущениям) в ходе процесса;

3) влажность осадка неизменна на протяжении всего процесса. Эти допущения обычно неправомерны для начальной стадии

процесса, когда осадок имеет малую толщину [28].

Случай фильтрования с образованием сжимаемого осадка мо­ жет быть рассмотрен с позиции общей теории фильтрования. Для этого из уравнения (1.126) необходимо исключить высоту осадка Лос

на основании материального баланса (высота осадка может быть выражена через объем фильтрата, необходимый для образования

где д' — масса твердой фазы в исходной суспензии, приходящаяся на единицу объема жидкости в этой суспензии.

Y9

FPr

и для сжимаемого осадка, т. е. при условии зависимости в от Ар, получим (при к'к =5)

66

(1.174)

Fdt 5g'gV i (1- 8)4 ,

Последнее уравнение можно записать в виде

где R’oc — удельное сопротивление осадка, м/кг.

Соотношение между Л' , е и Ар определяется экспериментально |22|. Для этого проба исследуемой суспензии помещается в цилиндр г пористым дном, на котором осадок задерживается, а фильтрат вытекает. В цилиндр устанавливают поршень и медленно сдавли­ вают осадок. Нагрузка на поршень может изменяться в заданных пределах. При каждой нагрузке определяется пористость осадка (по отметке положения поршня). Фильтрат вновь подается на слой осадка. При этом для каждой нагрузки по уравнению (1.175) рассчи­ тывается R'ot как постоянная величина. Зная г и R'ОС, можно рассчитать S . На рис. 1.15 приведены типичные для фильтрования

с образованием сжимаемого осадка зависимости s, Syg и R'oc от Ар,

полученные описанным выше методом испытания проницаемости. Результаты таких опытов могут быть использованы и для расчета процесса фильтрования в промышленных условиях.

Уравнение скорости фильтрования по Дарси можно расширить, чтобы учесть движение твердых частиц в сжимаемом осадке [97]:

где д — вектор локальной скорости жидкости в осадке, м/с; w —

вектор локальной скорости твердых частиц, м/с; е — пористость осадка; к — коэффициент проницаемости (по уравнению Дарси), м2;

р - динамический коэффициент вязкости фильтрата, кг/(мщ); Vp — оператор давления, под которым проводится фильтрование.

Первый член правой части уравнения (1.176) соответствует чле­ ну, учитывающему конвективный поток в первом законе Фика для диффузии.

Для процесса фильтрования, в котором q и Vp солинейны, в уравнение (1.176) можно ввести вектор мгновенной локальной ско­ рости твердых частиц г = (1 — £)vrm:

67

в

Рис. 1.15. Характеристики сжимаемого осадка а — зависимость пористости осадка от удельной поверхности частиц; б —

зависимость пористости осадка от Ар; в — зависимость удельного сопро­

ц

где е = е/(1 — б) — локальное отношение свободных объемов.

Из уравнения (1.177) следует зависимость, описывающая про­ цесс фильтрования с образованием сжимаемого осадка [58]:

где рх — давление, сжимающее частицы осадка на расстоянии х от фильтрующей перегородки, Па; тх — масса твердых частиц осадка,

приходящаяся на единицу площади на расстоянии х от фильтру­ ющей перегородки, кг/м2; рт — п л о т н о с т ь твердых частиц в осадке,

кг/м3; ц — динамический коэффициент вязкости фильтрата, кг/(м.с); Rx — локальное сопротивление осадка, м/кг; qx — локальная

скорость фильтрования на расстоянии х от фильтрующей пере­ городки, м/с.

В результате интегрирования уравнения (1.178) по толщине слоя осадка получены следующие зависимости:

где д, — скорость фильтрования на выходе из осадка, м/с; V — объем фильтрата, отнесенный к единице площади фильтра, м3/м 2;

среднее удельное сопротивление фильтрования, м/кг; с — массовая доля твердой фазы в суспензии, дол. ед.; а — отношение массы млажного осадка к массе сухого; р — плотность фильтрата, кг/м3; р — давление фильтрования, Па.

При фильтровании с постоянным давлением допустимо считать R неизменным, так как при образовании слоя осадка значительной

толщины давление р, на границе раздела осадок—фильтрующая

среда мало по сравнению с давлением на поверхности осадка.

.Значения а также становятся постоянными вскоре после начала процесса. Следовательно, и значения К и и0 приобретают смысл

констант фильтрования [94].

В начальной стадии фильтрования, когда толщина слоя осадка незначительна, сопротивление Rcp = f(p — р,) и непрерывно изме­

няется с увеличением количества фильтрата V. Изменения давления и величины а также вызывают изменения К и о0 в начальной стадии

процесса.

Чтобы проинтегрировать уравнение (1.179), необходимо ввести поправки на изменение констант К и и0 в начале процесса.

Перепишем уравнение (1.179) в виде

Здесь К и » , имеют постоянные значения, достигаемые после окон­

чания начальной стадии фильтрования, которой соответствует зна­ чение объема фильтрата У ач; ср(V) — функция объема фильтрата,

При V = 0 в уравнении (1.184) получим х = х0, которое назы­ вают временем начала выделения фильтрата.

Недостатком этого метода расчета является трудность вычис­ ления dx/dV с необходимой точностью, однако для обработки опыт­ ных данных, собранных в основной стадии процесса, можно исполь­ зовать уравнение (1.184).

Проанализируем функцию ф(V):

После подстановки значений К и и0 из уравнений (1.180) и (1.181) получим

При допущении, что сопротивление фильтрующей перегородки не

член уравнения в квадратных скобках, а следовательно, функция ф(V) и х0 могут быть отрицательными.

Экспериментально установлено, что удельное сопротивление сжимаемого осадка Roc может быть выражено эмпирической фор­

где А и п — постоянные для данного материала величины; р — давление фильтрования, Па.

В результате исследований, проведенных в НИИхиммаше, вы­ явлено существенное влияние концентрации твердой фазы в сус­ пензии на основные параметры процесса фильтрования. Установ­ лено, что удельное сопротивление осадка уменьшается с увели­ чением содержания твердой фазы. Это необходимо учитывать при выборе режима работы фильтра периодического действия или условий разделения на фильтре непрерывного действия [101].

Характер влияния концентрации на кинетику фильтрования несколько отличается от приведенных выше данных, но исследо­ вания, углубляющие наши представления о механизме процесса и влиянии отдельных параметров на скорость фильтрования, про­

должаются.

Уравнение кинетики фильтрования может быть представлено в виде

71

где V — объем фильтрата с единицы фильтрующей поверхности, м3/м 2; Ар — перепад давлений, Па; ц — динамический коэффициент вязкости фильтрата, Па-с; qna — слой твердой фазы, отлагающийся

при получении единицы объема фильтрата, м /м3; с — объемная доля твердой фазы в суспензии; А — коэффициент пропорциональности; к — показатель степени; Яфп — сопротивление фильтрующей пере­

городки, (Н-с)/м3.

1.9. Фильтрование с закупориванием пор фильтрующей перегородки

При разделении вязких суспензий, содержащих небольшие количества мелкодисперсных частиц твердой фазы, происходит проникновение твердых частиц в пористый фильтрующий слой и отложение их на стенках пор. В природных условиях такой процесс наблюдается очень часто (проницание грунтовых вод в геологи­ ческие массивы). Кроме того, он широко применяется для очистки сточных вод (при использовании песчаных и других фильтров, называемых глубинными из-за большой толщины фильтрующей перегородки). Закономерности фильтрования с закупориванием пор еще недостаточно изучены [9].

Характеристика наиболее распространенных видов фильтрова­ ния с закупориванием пор фильтрующей перегородки приведена в табл. 1.13 [49].

В потоке разбавленной суспензии, проходящем через пористый фильтрующий слой, концентрация твердой фазы постепенно уменьшается. Зависимости, показывающие изменение концентра­ ции через определенные промежутки времени, могут быть выра­ жены двумя способами: с помощью пучков кривых с. = /(т, Л) или

а = f (т, Л), где с — объемная доля твердой фазы в суспензии; а —

задержка (накопление) твердой фазы в порах фильтрующей пере­ городки (доля объема слоя, занимаемая осевшими частицами); h — толщина слоя фильтрующей перегородки, м (рис. 1.16).

Для определения вида функций с = /(т. Л) и ст = f (т, Л) необхо­

димо знать уравнение материального баланса и уравнение кинетики процесса фильтрования для случая постепенного закупоривания пор фильтрующей перегородки.

Выделим элемент фильтрующего слоя толщиной Ah. В начальный момент процесса пористость слоя б0 представляет собой

долю свободного объема, которая может быть заполнена потоком суспензии. Через некоторый промежуток времени при прохож-

72

Таблица 1.13

Особенности процесса фильтрования с закупориванием пор фильтрующей перегородки

дении суспензии начинается выделение твердых частиц на стенках пор фильтрующего слоя и пористость е0 уменьшается до б. Долю

объема, занятого осевшими в слое частицами и застойными зонами жидкости, захваченной этими частицами, можно выразить урав­ нением

Суспензия

I + +

Фильтрат

Рис. 1.16. Выходные кривые фильтрования с закупориванием пор филь­ трующей перегородки

73

Здесь а — задержка твердой фазы; а — коэффициент (а > 1), причем (а — 1) представляет собой объем жидкости, захваченной осевшей твердой фазой.

Другая доля объема £ занята подвижными твердыми частицами (ес, где с — объемная доля твердой фазы в суспензии) и подвижной жидкостью (е(1 — с)).

Таким образом, в элементе фильтрующего слоя с площадью сечения F и толщиной ДЛ будет содержаться следующее количество

Количество твердой фазы, прошедшей через выделенный элемент слоя, составит:

дс

n2 =Fm<pc ~ FD — ' (1.194)

8h

где <оф — фиктивная (в расчете на пустое сечение аппарата) скорость

диффузионный поток твердых частиц (согласно закону Фика); D — коэффициент диффузии, м -1.

Уравнение материального баланса (в условиях равенства ско­ рости накопления твердых частиц в слое и изменения расхода твер­

Это уравнение может быть упрощено введением некоторых до­ пущений [67, 94].

Случай 1. В первом приближении можно пренебречь диффу­ зионным потоком, так как в большинстве практических случаев конвективный поток во много раз превышает диффузионный. Тогда уравнение (1.188) примет вид

ддс

Случай 2. Для разбавленных суспензий (с * 0,001) можно также пренебречь изменением пористости слоя и считать s = s0. Тогда

Случай 3. Иногда можно не учитывать число подвижных частиц (е0с) в суспензии, если оно пренебрежимо мало по сравнению с числом частиц, осевших в слое:

Последнее упрощение неприемлемо для начального периода фильтрования с закупориванием пор фильтрующего слоя.

Продолжительность закупоривания пор. Перемещение фронта задержки твердой фазы в данный момент времени можно харак­ теризовать зависимостью

ЙФ

где £0Л/юф представляет собой время, необходимое для перемещения

суспензии сквозь слой. Если процесс фильтрования длится несколь­ ко часов, то этой величиной можно пренебречь, однако в общем случае ее нельзя считать ничтожной (например, при скорости суспензии соф = 0,1 см/с и е0 = 0,4 для прохождения суспензии

через фильтрующий слой толщиной h = 50 см требуется 200 с).

Кинетика процесса закупоривания пор. В течение малого про­ межутка времени Дт в элементе пористого фильтрующего слоя, в котором перемещается ес твердых частиц, задержка твердой фазы

'д а л

будет изменяться в соответствии с выражением — Дт

\дх

Вероятность задержки одной твердой частицы в единицу вре­ мени

сравнима с вероятностью задержки одной частицы при прохож­ дении потока через единицу толщины слоя со скоростью ш = соф/е.

Вероятность задержки частицы на единицу толщины слоя к =

= к ’г/а ., или

ф

Скорость закупоривания пор фильтрующего слоя обычно срав­ нивают со скоростью реакции первого порядка в химической кине­ тике: процесс характеризуется концентрацией, а взаимодействием между частицами суспензии можно пренебречь.

В действительности вероятность задержки к одной частицы зависит от количества уже осевших на стенках поры частиц, т. е. от величины задержки о. Таким образом,

где к0 — вероятность закупоривания чистого слоя (в начальном

периоде фильтрования); ф(ст) — функция задержки.

Вид функции задержки ф(ст). Самая простая математическая фор­

где стмакс — максимальное значение задержки (когда все поры на­

сыщены твердой фазой обрабатываемой суспензии и вероятности задержки не существует).

Однако экспериментально установлено, что в ряде случаев за­ держка проходит через максимум, прежде чем начнет резко уменьшаться. Это имеет место тогда, когда первые выделившиеся из суспензии твердые частицы блокируют входы в поры фильтру­ ющего слоя, увеличивая возможность захвата следующей порции твердых частиц, поступающих в ту же точку.

Учесть первоначальное увеличение ф(ст) и все возможные виды экспериментальных кривых можно введением функции от трех параметров [14]:

где b — положительный коэффициент, учитывающий начальное увеличение задержки; д — показатель степени, характеризующий криволинейность функции.

Общий баланс задержки ст. Если к моменту времени т, поры

фильтрующего пористого слоя частично заполнены твердыми час­ тицами, выделившимися из суспензии, то объем частиц в эле­ ментарном слое между сечениями h и [h + dh) будет равен

С момента начала фильтрования до момента т через входное сече­ ние Л пройдет следующее количество твердой фазы:

76

ah л

Уравнение (1.212) строго отражает баланс задержки твердой фазы в пористом фильтрующем слое при допущении, что диффузия ничтожно мала (случай 1).

Таким образом, процесс фильтрования при закупоривании пор фильтрующей перегородки может быть описан тремя уравнениями:

77

Профили изменения объмной доли твердой фазы и задержки.

Изменения объемной доли твердой фазы и задержки по высоте фильтрующей перегородки в процессе фильтрования с закупори­ ванием пор описываются уравнениями (1.214) и (1.215), имеющими одинаковую математическую форму.

Можно установить соотношение между с и а для данного момента времени т, исключив к\

Константа интегрирования С определяется соотношением

С_ _ о

(1.218)

с, о.

где ct и ст. — объемная доля твердой фазы и задержка на входе в

слой соответственно. Задержка на входе возрастает по экспонен­ циальному закону в зависимости от времени и достигает пре­ дельного значения при максимальном насыщении слоя (стмакс * 1 %).

Величина ст. определяется интегрированием кинетического урав­ нения (1.202), записанного для h = 0 в виде

Ф К

где тс — константа времени для фильтрующей перегородки. Профили объемной доли твердой фазы и задержки (коэффи­

циента объемного осаждения) для ряда значений т/тс при простой

полученного интегрированием дифференциального уравнения ба­ ланса задержки (1.214) при условии, что к = &0ср(а).

Для ф(а) = 1 — (а/ст ) в результате интегрирования получим

Аналогично вычисляют профили задержки для других функций

ф(о).

Рассчитав задержку для ряда значений Ли т , можно определить объемные доли твердой фазы с для тех ж е Л и т , используя со­ отношение (1.219), и получить пучок кривых (рис. 1.17, б), харак­ теризующих продвижение фронта концентрации для выбранной формы функции ф(а).

Скорость перемещения фронта задержки. Профили изменения задержки по высоте фильтрующего слоя для различной продолжи­ тельности фильтрования приведены на рис. 1.18 [123].