Белоглазов Фильтрование технологических пульп

Следовательно,

Для частиц неправильной формы необходимо вводить поправку, равную величине фактора формы d j = cpcL

Пористость (порозность) осадка является одной из важнейших его характеристик. Следует различать открытую и закрытую порис­ тости. Открытую пористость имеют твердые тела, у которых поры пересекаются и выходят на поверхность образца. Величина доступ­ ной (открытой) пористости определяется в результате взвешивания сухого и насыщенного водой образца:

где рос — плотность осадка, кг/м 3.

Для установления закономерностей распределения пор по раз­ мерам используются методы, основанные на определении зависи­ мости объема адсорбированного газа от радиуса пор (при конден­ сации адсорбированного пара при давлениях, значительно меньших нормального давления паров адсорбированной жидкости) или зави­ симости объема вдавленной в поры жидкости (ртути), которая не смачивает исследуемый твердый материал, от гидростатического давления (при использовании высокого, более 100 кПа, и низкого, 2 —100 кПа, давлений).

Наряду с экспериментальными методами определения порозности осадков, применяются и теоретические (или расчетные). Их недостатком является то, что все они могут использоваться лишь в случаях, когда осадок представлен одинаковыми по форме и раз­ меру частицами. Например, пористость неподвижного слоя твердых частиц, имеющих форму шаров одного размера, равна

20

где р — угол между линиями, соединяющими центры соседних шаров.

В теории фильтрования наряду с величиной порозности s ши­ роко используется такая величина, как показатель порозности, рав­ ный г) = е/ ( 1 — е). В ряде случаев это существенно облегчает запись математических выражений.

Для слоя, составленного из частиц двух видов, показатель порозности смеси определяется как наибольшее значение, рас­ считанное по уравнениям:

Здесь t|j и ц2 — показатели порозности для слоев, образованных

частицами различной крупности, рассчитанные на основе выраже­ ния (1.33) или подобных ему; х. — объемные доли частиц в общей

смеси; к. — коэффициенты, величина которых определяется экс­ периментально:

где \ — отношение эквивалентных диаметров зерен (0 < £ < 1). Для систем, представляющих собой агломераты (состоящие из

соединенных между собой отдельных зерен), пористость слоя опре­

или

21

где V 0' — общий объем зерен в слое, м3; V — объем слоя, м3; V 1—

объем твердого тела в частице агломерата, м3; т' — масса зерна, кг; ms' — масса твердого тела в зерне, кг; pr = m '/ V * ms' / V — плотность

зерна, кг/м3, ps — кажущаяся плотность частицы агломерата, кг/м3.

В теории разделения суспензий часто используется понятие «удельная поверхность частиц», под которым подразумевают сум­ марную поверхность твердых частиц, отнесенную к единице объема слоя. С учетом выражения (1.29) она составит

Для теоретического описания процессов обезвоживания сус­ пензий необходимо располагать информацией о крупности частиц твердой фазы и диапазоне ее изменения. Эти значения устанавли­ ваются посредством ситового гранулометрического анализа, седи­ ментации, а также визуально (при помощи микроскопа). Они ока­ зывают ощутимое влияние на пористость слоя, размер капилляров, сопротивление осадка и т. п. Монодисперсные материалы харак­ теризуются прямо пропорциональной зависимостью между диа­ метром частиц, пористостью и диаметром капилляров. Поэтому, чем крупнее частицы осадка, тем меньшее сопротивление потоку жид­ кости они оказывают. С ростом полидисперсности твердых частиц данная закономерность нарушается. Причиной тому служит за­ стревание мелких частиц в промежутках между частицами более крупных фракций. Поскольку реальные осадки в большинстве сво­ ем содержат частицы широкого диапазона крупности, при модели­ ровании процессов разделения суспензий приходится вводить соот­ ветствующие поправки, допущения или использовать усредненные характеристики.

Наиболее распространенной методикой определения крупности частиц суспензии является ситовый анализ. Для ситового анализа и характеристики крупности в России используется следующая шкала

быть поделены на более мелкие классы, исходя из условий и цели получения данных. Выход класса крупности определяется рассевом материала на контрольных ситах по отношению массы каждой фракции к массе переработанной пробы. Чем выше необходимая точность определения, тем больше должна быть масса пробы и число разовых определений. Рассев предпочтительно осуществлять мокрым способом, так как в этом случае в меньшей степени про­ является конгломерация частиц. При сухом способе рассева при­

меняют стандартные рассеивающие машины. Выход класса может быть определен как отдельно — пофракционно, так и суммарно с минусовыми или плюсовыми фракциями.

За рубежом для ситового анализа применяют набор сит, раз­ меры ячеек которых выбраны по шкале Иверса, по шкале с модулем

л/2 = 1 ,4 1 (шкала Тайлера) — от 2,362 мм до 0,104 мм, а также по

шкале с модулем V2 = 1,189 — от 0,104 до 0,043 мм.

Одной из характеристик крупности частиц служит средний взвешенный диаметр. Этот показатель используют с целью учета некоторого узкого класса крупности, оказывающего существенное влияние на реализуемый процесс. Средний взвешенный диаметр

где у. — выход фракции, %; йф1— средний диаметр г-й фракции, мм;

Усум — суммарный выход фракций, обычно 100 %.

Не следует путать средний взвешенный диаметр со средним диаметром частицы, определяющим ее геометрию:

где х, у, z — геометрические размеры частицы, мм.

Наиболее часто используются три характеристики крупности дисперсной фазы суспензии: верхняя граница крупности, отража­ ющая граничный размер зерна, в пределах которого находится основная масса материала, средний взвешенный диаметр и со­ держание тонкой фракции, размер которой близок размеру ячейки фильтровального материала. В связи с этим различают три основ­ ных класса крупности осадочного материала: тонкий с крупностью основной массы частиц меньше 100 мкм (иногда меньше 74 мкм), крупноили грубозернистый — от 100 мкм до 3,5 —4 мм — и кус­ ковой — более 4 мм. Часто для характеристики осадков используют диапазон изменения крупности, например от 0,1 до 0,5 мм.

Дисперсность (крупность) твердой фазы определяется функцией распределения частиц по их размерам (эквивалентным диаметрам). В зависимости от способа оценки количества твердого вещества дисперсность выражается массовыми, объемными или численными функциями распределения.

Функция плотности распределения частиц по их размерам в общем виде записывается как /(d j. Тогда доля частиц в диапа­

зоне d4 + dd4 будет определяться дифференциальным выражением

f(d4)ddl

Условие нормирования для данного случая имеет вид

О

Зная f(d), можно определить средний диаметр частиц:

Иногда используют функцию плотности распределения массы частиц по их размерам

эквивалентный диаметр меньше некоторой величины d4, но больше размера d4 min самой мелкой частицы смеси, м; к — коэффициент

пропорциональности, зависящий от формы частиц и их плотности. Как показали специальные исследования, d4 min * 0 и составляет

Большинство твердых материалов, с которыми приходится иметь дело на практике (горные породы, синтезированные твердые вещества и другие продукты, особенно подвергшиеся процессу измельчения), имеют функцию распределения, выражаемую эмпи­ рической зависимостью

где dmax — эквивалентный диаметр самой крупной в смеси частицы,

м; п' — постоянная, характеризующая отношение крупных и мелких фракций в смеси. Чем меньше п', тем больше в смеси мелких частиц. Обычно величина л' близка к единице или несколько мень­

ше нее.

Функция (1.46) хорошо описывает распределение частиц по их размерам во всем диапазоне возможных значений эквивалентного диаметра d4 — от 0 до dmax.

Значения параметров функции (1.46) определяются экспери­ ментальным путем (методами оценки крупности частиц).

Приведенная функция достаточно сложна для статистической обработки, поэтому в расчетах можно использовать более удобное приближенное ее выражение в форме так называемого уравнения Розина—Раммлера [125]. Оно получается из (1.46) в результате следующих рассуждений: для самых мелких частиц, когда d4 -+ О,

В отличие от (1.46) уравнение (1.47) хорошо описывает не все распределение частиц, а только ту его часть, для которой у < 0,8+0,9. Полученные расчетом по формуле (1.47) значения у > 0,8+0,9 обычно занижены. Это объясняется тем, что для (1.47) у всегда мень­ ше 1 и функция не имеет конечного предельного максимального значения, только асимптотически приближаясь к прямой у = 1.

Для практических расчетов можно еще более упростить функ­ цию распределения (1.47), разлагая ее правую часть в бесконечный ряд Макларена. После несложных преобразований получаем урав­ нение Годэна—Андреева (пригодное для значений у = 0,4+0,6)

Аналогичным образом, пренебрегая суммой членов разложения в степенях выше второй, можно получить

Зависимость (1.49) справедлива для значений у < 0,6+0,8.

1.3.Физические свойства газов и их смесей

Впромышленных фильтрах на завершающей стадии обезвожи­ вания довольно часто применяют подсушку осадка газообразными теплоносителями. Известно, что теплопередача зависит от физичес­ ких свойств теплоносителя, поэтому выбор или вычисление физи­ ческих параметров теплоносителей в зависимости от температуры и

давления составляет элемент расчета фильтра как теплообменного аппарата.

Основными характеристиками влажного газа являются: темпе­ ратура, давление, плотность, вязкость, влагосодержание, относи­ тельная и абсолютная влажности, теплоемкость, теплопроводность, энтальпия (соответственно tr, pr, pr, pr, xr, cpr, pn, срг, Хг, Я ). Непосред­

ственное влияние на процесс теплообмена оказывают коэффициент теплопроводности лг, удельная теплоемкость срг, плотность рг, дина­

мический коэффициент вязкости цг и коэффициент температуро­ проводности а, = gX/(cpipr).

Под абсолютной влажностью газа понимается масса жидкости, приходящаяся на единицу объема газа. Это понятие равнозначно такой характеристике влажного газа, как плотность пара рп, вы­

ражаемой в килограммах на кубический метр.

Под относительной влажностью газа фг понимается отношение количества жидкости, реально содержащейся в данном газе,к мак­

где рнп — давление насыщенного пара при данной температуре, Па (табл. 1.2).

Влагосодержанием хг газа называется масса жидкости, приходя­

щаяся на единицу массы абсолютно сухого газа (кг/кг). Оно может быть выражено через относительное влагосодержание газа уравне­ нием

Для системы воздух—водяной пар, т. е. при условии, что Мп = = 18 кг/моль и Мсг = 29 кг/моль, зависимость (1.51) может быть приведена к виду

Газ является сжимаемой средой, поэтому при вычислении его параметров необходимо делать соответствующую поправку или пользоваться различными зависимостями, выбор которых ограничен некоторым диапазоном давлений [66].

Так, при вычислении плотностей газов рг и компонентов газовой смеси рсм при малых давлениях (до 10 ат) можно использовать зависимость

26

Таблица 1.2

Давления насыщения водяного пара при различной температуре

где рг и р0 — плотности газа в данных и нормальных условиях соот­

ветственно, кг/м3; р и рн — давление газапри температуреf и 0 °С

соответственно, Па; t —температура газа,соответствующая дав­ лению р, К; t0— температура, численно равная 273,15 °С.

Плотность смеси, состоящей из нескольких компонентов, опре­ деляется исходя из свойства аддитивности:

где рсм — плотность многокомпонентной газовой смеси, кг/м 3; р. — плотности компонентов газовой смеси, кг/м 3; у. — объемные доли

компонентов газовой смеси.

При более высоких давлениях вычисление плотности не­ обходимо вести с учетом сжимаемости газа:

где рг — плотность газа, определенная по формуле (1.53); ф — коэф ­

фициент сжимаемости газа.

Коэффициент сжимаемости также является аддитивной харак­ теристикой и для смеси газов рассчитывается по формуле

27

где ф. — коэффициент сжимаемости компонентов смеси.

В случае, если газовая фаза представлена парогазовой смесью, что характерно для конвективных сушилок, плотность такой смеси рсм определяется как сумма плотностей сухого газа рсг и пара рп

жидкости, находящихся в данном объеме (при условии его по­ стоянства):

RT(1/ М сг + х / М

где Мсг — молекулярная масса сухого газа, кг/моль; Мп — молеку­ лярная масса пара, кг/моль; рд — полное давление в системе газ — пар, Па.

Согласно выражению (1.59) рост температуры Т и влагосодержания х при постоянстве общего давления р0 влечет за собой сни­ жение плотности смеси.

На определении динамического коэффициента вязкости газов и компонентов газовых смесей цг следует остановиться более

подробно. При этом необходимо учитывать и внешние параметры системы, такие как температура и давление. При малых значениях давления газа вполне адекватной может быть признана формула

где ц0 — динамический коэффициент вязкости газа при нормальных условиях, Па-с; Сс — постоянная Сатерленда; Т — температура газа, К. Численные значения величин ц0 и Сс приведены в табл. 1.3.

В некоторых литературных источниках [105] при определении вязкости газов рекомендуется пользоваться формулой

28

* н. у. — нормальные условия (давление 1 ат и температура 0 °С).

где m — постоянная величина для каждого газа (табл. 1.4).

Как можно отметить, в выражениях (1.60) и (1.61) изменением вязкости газа при вариациях давления пренебрегают.

В случаях, когда результаты вычислений, проведенных по фор­ мулам (1.60) и (1.61), различаются более чем на 5 —7 %, следует прибегнуть к дополнительным экспериментам по определению вяз­ кости рассматриваемой смеси при данном значении температуры. Методика проведения таких экспериментов подробно описана в специальной литературе.

При высоких давлениях эти зависимости становятся неадек­ ватными [82], поэтому для газов, находящихся под давлением более 10 атм, наиболее точным является уравнение [52]

Таблица 1.4

Значения постоянной ш в уравнении (1.61) для различных газов

29

гДе Ц/ — динамический коэффициент вязкости газа при данных температуре и давлении, Па-с; цг — динамический коэффициент

вязкости газа при данной температуре и нормальном атмосферном давлении, определенный по формулам (1.60) и (1.61), Па-с; а, и к —

постоянные величины для каждого газа (табл. 1.5); р — терми­ ческое давление, Па.

Таблица 1.5

Значения постоянных аг и кг в уравнении (1.62) для различных газов

Для определения термического давления газа используется фор­ мула, полученная из уравнения состояния идеального газа, выве­ денного Ван-дер-Ваальсом [52]:

Таблица 1.6.

Значения постоянных а' и Ь' в уравнении (1.63) для различных газов

где цсм — динамический коэффициент вязкости смеси при нор­ мальном атмосферном давлении, Па-с; асм и псм — некоторые по­

стоянные, характеризующие данную смесь.

При нахождении рсм необходимо учитывать, что динамический

коэффициент вязкости является аддитивной величиной, а коэф ­ фициенты асм и псм этим свойством не обладают. При определении

величины асм для смеси двух газов пользуются выражением

Численное значение коэффициента п можно принимать рав-ным 1,15, поскольку величина п изменяется в узких пределах.

При определении термического давления газовой смеси поль­ зуются формулами термического давления для идеальных газов, причем коэффициенты вычисляют по зависимостям:

Вязкость газовых смесей можно находить и приближенно по формуле

где m j — массовые доли компонентов в смеси.

При расчете вакуумных фильтров, особенно когда глубина ва­ куума довольно высока, вычисление вязкостей газовых смесей по формуле (1.64) не обеспечивает должной степени адекватности. Поэтому для расчета вязкости газов при давлениях, много меньших 1 атм, когда газовую смесь можно принимать за идеальную, пользуются зависимостью

Г\ 0 , 5

41 + ^ L

ЛМ,

l2J

или, в общем виде,

ш — молярные доли компонентов в смеси; M i — молекулярные

массы этих компонентов, кг/моль.

Теплоемкость газовых смесей определяют либо опытным путем, либо по эмпирическим формулам, например из соотношения

где с — теплоемкость газовой смеси при постоянном давлении,

Рем

Дж/(кг-К); ср — теплоемкости компонентов газовой смеси при по­

стоянном давлении, Дж/(кг-К).

Теплопроводность большинства газов при нормальных условиях Х0 может быть найдена экспериментальным путем. Влияние тем­

пературы на теплопроводность газов может учитывается с помощью выражения

где Т — температура, К; А,0 — теплопроводность газа при темпе­

ратуре 273 К, Дж/(м-К); п — постоянная для каждого газа. Значения п для некоторых газов приведены в табл. 1.7.

Таблица 1.7

Значения постоянной п в уравнении (1.71) для различных газов

Влияние давления на теплопроводность газов при высоких его значениях учитывается косвенным путем, через плотность газа, уравнением, которое применимо при у < укр [105]:

где Xt и Xt — расчетные значения теплопроводностей при данной

температуре и давлениях — данном и нормальном атмосферном соответственно, Дж/(м-К); В2 и п2 — эмпирические константы

(табл. 1.8).

Для смеси газов коэффициент теплопроводности Хсмможет быть определен только экспериментальным путем, т. к. закон аддитив-

Таблица 1.8

Значения постоянных В2 и п2 в уравнении (1.72) для различных газов

ности для X не применим. Если известны теплопроводность и ди­ намический коэффициент вязкости газовой смеси, то Хсм вычисля­

ется приближенно по формуле

Таблица 1.9

Значения постоянных А' и к' в уравнении (1.73) для различных газов

Теплопроводность смеси сильно разреженных газов, близких к идеальным, можно определять по зависимости, аналогичной вы­ ражению (1.68) [119],

1 + — (hi2Aj,2 + Я13А13 + т 4А 14+...)

1=11 + — mi j=l

где A.,j — некоторая постоянная, причем

34

S — константа, зависящая от температуры (табл. 1.10).

Таблица 1.10

Значение константы S в уравнении (1.74) для различных газов

Соотношение динамических коэффициентов вязкости двух га­ зов может быть выражено зависимостью

Для смеси неполярных газов Sj.2 = ^ S J52 . Если один из компо-

нентов смеси имеет неполярные свойства (аммиак, водяной пар), то

■si;2 = 0,733^S^s7 . Значение S можно вычислять и приближенно

с помощью формулы 5 = 1,5Тшп, где Тшп — температура кипения газа, К [119].

Удельную энтальпию Н парогазовой смеси выражают в соот­ ветствии с законом аддитивности как сумму удельных энтальпий компонентов смеси, например сухого газа Я сг и пара Нп [88]:

Удельную энтальпию перегретого пара определяют по урав­

где сж — теплоемкость конденсата пара, Дж/(кг-К); tH— температура

насыщения, соответствующая парциальному давлению пара в паро­ газовой смеси, К; г( — удельная теплота парообразования при тем­

пературе насыщения, Дж/кг; tn — температура перегретого пара, К. Удельная энтальпия Ннп пара при температуре насыщения вы­

числяется по формуле

Уравнение (1.79) является базовым при построении диаграмм энтальпия—влагосодержание.

1.4. Гидродинамические характеристики процессов фильтрования

Движение потока фильтрата через слой зернистых или кус­ ковых материалов, а также насадочных элементов разнообразных размеров и формы — часто встречающийся в промышленном про­ изводстве процесс. При заполнении дисперсионной средой свобод­ ного пространства между частицами слоя поток одновременно обте­ кает отдельные частицы или элементы слоя и движется внутри пор и пустот, образующих систему каналов переменного сечения.

Распределение скорости сплошной среды в зернистом слое зависит от ее физических свойств (в первую очередь от плотности и вязкости), а также от физических и геометрических характе­ ристик дисперсного слоя. Структура зернистого слоя характери­ зуется порозностью слоя s; величиной удельной поверхности / т,

отнесенной к единице массы или объема слоя; эквивалентным диаметром d3 и извилистостью каналов; скоростью витания от­

дельных частиц.

Основная сложность при построении математической модели движения жидкости через слой зернистых материалов заключается в разграничении зернистых материалов по дисперсности и форме частиц, а следовательно, по гидравлическому сопротивлению слоя [78]. Обычно выделяют два крайних случая: 1) слой состоит из твер­ дых частиц, имеющих пренебрежимо малую пористость, и 2) порис­ тость частиц, слагающих зернистый слой, велика (сорбенты). В пер­ вом случае основными гидравлическими характеристиками слоя

36

ииляются порозность и удельная поверхность частиц, а во втором — первостепенное значение имеет сорбционная емкость, определяе­ мая внутренней поверхностью частиц.

Простейшая модель движения жидкости через слой осадка может быть получена, если представить этот слой в виде системы пор одинакового диаметра. В этом случае закон сопротивления слоя имеет вид

2

( 1-80)

d, 2

где Хсл — коэффициент гидравлического сопротивления слоя; hoc — высота осадочного слоя, м; Un — скорость потока в порах осадка, м/с.

При ламинарном режиме движения жидкости по каналам осад­ ка, что для зернистого слоя соответствует значениям критерия Рей­ нольдса Re < 50, коэффициент гидравлического сопротивления слоя определяется по формуле

где А — коэффициент, зависящий от условий взаимодействия по­ тока и слоя твердых частиц.

С учетом этого

К с

Скорость жидкости в порах осадка Un связана со скоростью U, отнесенной ко всему сечению слоя, соотношением U = zUn.

Подстановка значений Un и d3 из формулы (1.30) в уравнение (1.82) с учетом фактора формы частиц дает

константа кк — константой Козени. Ее численное значение, по

данным различных исследователей, колеблется в пределах от 150 до 200 [19, 50].

Недостатком этого уравнения является то, что оно применимо только для достаточно медленных ламинарных течений, удовле­ творяющих условию ржШ /[цж(1 - е)] < 10, и при не слишком боль­

ших значениях порозности 8.

Существует еще один подход к определению гидравлического сопротивления Ap/hoc, согласно которому

где

1 + -(1 -е)5/3

Выражения (1.84) и (1.85) громоздки, но в отличие от уравнения Козени—Кармана в них не содержится эмпирически определяемых параметров. Сравнив зависимости (1.83) и (1.84), можно увидеть, что в правых частях обоих выражений имеется множитель

однако коэффициенты перед этим множителем различные. Рассмо­ трим отношение этих коэффициентов:

Исследования показали [1], что в диапазоне значений порозности 0,3 < 8 < 0,6 при кк = 160 рассматриваемое отношение отличается от

единицы в среднем лишь на ±7 %, хотя функция /(е) изменяется более чем в 10 раз. Таким образом, оба подхода дают близкие результаты.

Значения константы кк для зернистых слоев, состоящих из эле­

ментов различной формы, приведены в табл. 1.11.

Закон сопротивления слоя для ламинарного режима движения

где La = Re-Eu — критерий Лагранжа, характеризующий соотно­ шение сил давления и внутреннего трения в системе; Г = hoc/d 3 —

геометрический симплекс, равный отношению высоты слоя к экви­ валентному диаметру канала; А — опытный коэффициент, равный

200.

Приближенный расчет гидравлического сопротивления непод­ вижного зернистого слоя при 0 < Re < 200 можно провести с помощью номограммы, представленной на рис. 1.6.

Потеря напора в слое при Re > 7000, что соответствует развито­ му турбулентному режиму, рассчитывается по схожему уравнению:

38

Таблица 1.11

Средние значения константы Козени для различных засыпок

X' = /(Re ), a Re — модифицированный критерий Рейнольдса,

Рис. 1.6. Номограмма для определения Лр//го< в слое дисперсного материала

при 0 < Re < 200:

1,2 — вспомогательные шкалы

39