Белоглазов Фильтрование технологических пульп

В своих работах [5, 6] ЭрГУН,„ Допуская, что зернистый слои представляет собой со­ вокупность извилистых ш е­ роховатых трубок (причем все зернистые слои имеют при­ мерно одинаковые характе­ ристики шероховатости), для монодисперсного слоя сфери­

ческих частиц предлагает со­ отношение

Аавлений в зернистом слое м ож еГ бы ^Г н а^ен и ^ о о т Х е н и я ^

которое называется уравнением Эргуна. При малых значениях параметра ржШ /[цж(1 — в)] оно переходит в уравнение Козени—

Кармана, а при больших — в уравнение Бурке—Пламмера.

В ряде работ [46, 80] при расчете сопротивления слоя в условиях турбулентного режима предлагается учитывать проницаемость слоя

свойства пористых сред комплексно, в то время как сама пористая среда считается псевдогомогенной системой.

Для засыпок, образованных монодисперсными частицами не­ правильной формы, коэффициент проницаемости может быть опре­ делен по уравнению [51]

Для определения коэффициента проницаемости засыпок, обра­ зованных полидисперсными частицами с известной функцией рас­ пределения пор по эффективным диаметрам, используется выра­ жение

min

В критериальном виде для расчета гидравлического сопротив­ ления слоя зернистых материалов при турбулентном режиме при­ менимы зависимости: в переходной области (60 < Re < 7000) —

в области развитого турбулентного течения (Re > 7000) —

При расчете гидравлического сопротивления среды важно знать границу перехода ламинарного режима движения жидкости в тур­ булентный, характеризуемую величиной критического числа Рей­ нольдса ReKp. Сложность заключается в том, что для различных

пористых сред и засыпок из частиц неправильной формы величина ReKp не является постоянной и зависит от порозности, проницае­

мости и относительной шероховатости поровых каналов. Практи­ чески неизменными значения Rекр остаются только для засыпок с

схожими структурами порового пространства и одинаковой шерохо­ ватостью частиц.

Средние значения критических чисел Рейнольдса для засыпок из различных материалов по данным [72] приведены в табл. 1.12.

Таблица 1.12

Средние значения Reip для засыпок из различных материалов

Значения Rexp можно найти и через приведенный коэффициент проницаемости слоя £пр, используя зависимость [115]

Результаты графической обработки опытных данных [5] в виде зависимости ReKp = f(knp/e2/3) представлены на рис. 1.8.

Рассмотренные выше уравнения Козени—Кармана, Бурке— Пламмера и Эргуна относят к группе так называемых капиллярных моделей, сопротивление слоя в которых зависит от извилистости каналов lnop/h oc, пористости б и удельной поверхности пор / .

Однако кроме них в литературе предложено множество иных иде­ ализированных моделей фильтрации [6, 41, 44, 46, 80, 90], обзор которых дан в работе [48].

Согласно струйным моделям фильтрации, основным фактором, определяющим характер движения потока в пористой среде, явля­ ется эффект сжатия и расширения струй, возникающий под вли­ янием конфигурации отдельных ячеек слоя [6, 44, 90]. Для системы со сложной структурой порового пространства уравнения струйной модели малопригодны, поскольку требуют громоздких расчетов эф ­ фекта сжатия и расширения струй.

В моделях внешнего обтекания частиц дисперсной фазы жид­ костью, фильтруемой через слой, течение рассматривается как со­ вокупность последовательных обтеканий отдельных частиц либо в

Рис. 1.8. Аппроксимации экспериментальных зависимостей ReKp = f(knp/e2'3)

для различных материалов:

1 — засыпки из полированных сферических частиц; 2 — пористые материа­ лы из округлых гладких частиц; 3 — крупнозернистые засыпки из шерохо­ ватых частиц неправильной формы; 4 — мелкозернистые засыпки

предположении квазистационарности поля скоростей вокруг от­ дельной частицы, либо с учетом влияния пульсаций скорости в условиях стесненного обтекания частиц в абсолютно однородных слоях. Эти модели также предполагают определение формы и коэф ­ фициентов гидравлического сопротивления одиночных частиц, что является непростой задачей для частиц неправильной формы.

1.5. Тепломассообменные процессы в зернистом слое

Теоретического описания закономерностей тепло- и массообмена в пористых средах на данный момент пока не предложено, что можно объяснить сложностью математических расчетов и большим числом влияющих факторов, учесть которые не представ­ ляется возможным даже в идеализированных случаях. Поэтому в основу расчета интенсивности тепломассообмена в ходе фильтра­ ции пульпы на фильтрах положены идеализированные мате­ матические описания, базирующиеся на критериальных регресси­ онных уравнениях и позволяющие проводить технические расчеты

в строго ограниченном диапазоне значений критериев Re, Рг, Ре и других. Применяемые уравнения носят эмпирический характер, что потребовало большого объема экспериментальных исследо­ ваний.

Отсутствие общепризнанных и нормативно закрепленных методик анализа тепло- и массообменных процессов в пористых средах затрудняет исследования в этой области и препятст­ вует созданию комплексной теории тепломассообмена в пористых слоях.

Обзор литературы показывает, что при обработке опытных данных по тепломассопереносу при фильтрации различные ис­ следователи в качестве определяющих параметров процесса используют разные величины. Приводимые в литературе регрес­ сионные уравнения отражают ход процесса в различных диапа­ зонах определяющих критериев, поскольку каждый из исследо­ вателей разбивал области Re, Рг, Ре, Gr, Sh и других критериев посвоему. Вдобавок, удовлетворительная воспроизводимость резуль­ татов экспериментов зачастую достигается лишь в той пористой

тепломассообмену в пористых средах внесли Г. А. Витков, Л. П. Хлопанов и С. Н. Шерстнев [45 —48], которые графическим путем сопо­ ставили приводимые в литературе критериальные уравнения и по­ лучили усредненные регрессионные зависимости.

Поиск аналогичных обобщений в литературе оказался безус­ пешным, поэтому сопоставить результаты работ [45-48] оказалось не с чем. В связи с этим ниже приводится краткое изложение результатов исследований Г. А. Виткова, Л. П. Хлопанова и

С.Н. Шерстнева с некоторыми дополнениями и замечаниями.

Вцелях достижения максимальной воспроизводимости ре­ зультатов эксперимента и упрощения вычислений на практике при анализе процессов тепломассообмена в зернистом слое исполь­ зуются идеализированные модели. Основные упрощения касаются формы и размеров частиц дисперсного слоя (засыпки). Обычно применяют засыпки, состоящие из частиц правильной геометри­ ческой формы (шар, цилиндр и т. д.), имеющих одинаковые размеры или определенный диапазон размеров.

Наибольшее число критериальных уравнений тепломассопереноса получено для засыпок, состоящих из сферических частиц, более всего приближенных по форме к дисперсным частицам реаль­ ных технологических пульп. Зависимости для конвективного тепло- и массопереноса в таких слоях носят сходный характер.

Как известно, тепломассоперенос в дисперсных слоях напрямую связан с гидродинамическими особенностями обтекания элементов структуры слоя. Модель стесненного обтекания сферических час­ тиц, изложенная в работах Д. Хаппеля [118], Р. Пфеффера [17, 18], К. Касика [13], Д. Карберри [3] и других авторов, легла в основу

теоретического решения задачи тепломассообмена в зернистом слое, образованном из шаров. Однако полученные ими описания весьма приближенно характеризуют процесс. Точного решения этой задачи до настоящего времени не найдено.

Приближенные аналитические решения, предложенные авто­ рами названных выше работ для описания тепломассообмена в условиях стесненного обтекания частиц, в критериальной форме излагаются ниже. Каждой из приводимых зависимостей соответ­ ствует свой диапазон изменения эквивалентного критерия Рей­ нольдса. Включенный в состав регрессионных зависимостей кри­ терий Прандтля, наряду с гидродинамикой обтекания, позволяет учесть еще и температурный фактор. Ограниченность примени­ мости приводимых уравнений узкими диапазонами чисел Re, Рг и Ре является следствием сложного влияния большого числа факторов, определяющих закономерности гидродинамики и тепломассопереноса в пористой среде и не учитывающихся полностью и в явном виде в критериальных уравнениях.

При значениях 102 < Res < 103, когда течение жидкости по

каналам соответствует развитому турбулентном режиму, величину критерия Nu, характеризующего интенсивность конвективного

Можно заметить, что в области развитого турбулентного тече­ ния большое влияние на интенсивность теплообмена оказывает показатель порозности слоя, соответствующий доле объема осадка, не занятого твердой фазой. Объясняется это тем, что с умень­ шением эквивалентного диаметра каналов существенно возрастают скорость и турбулентность потока жидкости.

При меньших скоростях движения жидкости в уравнения необходимо вводить поправку на испарение жидкости с поверх­ ности непористых частиц, растворение элементов зернистого слоя в потоке различных жидкостей, сублимацию зерен в газовом потоке, нагревание и охлаждение потока или слоя, в то время как пока­ затель порозности теряет свое первостепенное значение [32]. Для таких условий можно использовать обобщенные выражения, основанные на обширном экспериментальном материале.

В приводимых уравнениях в качестве характерного размера использован эквивалентный диаметр пор йэ. За скорость газа U

принято ее усредненное значение по сечению слоя. При 10“2 < Re < 30

45

где Агэ — эквивалентное значение критерия Аррениуса.

Теоретические решения, полученные Д. Хаппелем, Р. Пфеффером, К. Касиком и Д. Карберри для частиц сферической формы, дают сопоставимые результаты, удовлетворительно согласующиеся сэкспериментом в области переходных чисел Рейнольдса, и подтверждают существование аналогии между процессами переноса

менимость только для сферических частиц, слагающих слой, затруд­ няют использование этих формул при проведении численных расче­ тов для реальных технологических пульп [87]. В связи с этим очевидна необходимость поиска модели, которая устранила бы указанные недостатки. Попытка создания таковой предпринята Г. А. Витковым, Л. П. Хлопановым и С. Н. Шерстневым [45 —48]. Разработанная ими модель тепломассопереноса в пористых средах построена на безразмерных комплексных величинах, учитывающих относительную значимость известных критериев Архимеда, Грасгофа, Прандтля, Рейнольдса, Шмидта и Шервуда.

Предположим, что среда является псевдогомогенной, в качестве определяющих параметров примем ^&пр (кпр — константа проница­

емости, м2), среднюю скорость фильтрации U и особенности внут­ ренней структуры пористой среды, учитывающиеся коэффици­ ентом дополнительных сопротивлений турбулентной фильтрации п.

Критериальное уравнение межфазного переноса может быть записано в виде

46

где J — отнесенная к единице объема сила, которая для случая переноса импульса равна Др /1 и вызывает перенос тепла или массы в пористой среде; р — вязкость жидкой фазы, кг/м 3; р — дина­ мический коэффициент вязкости жидкости, Паю; а — удельная поверхность слоя, м2/м 3.

Обозначим

Безразмерный комплекс (1.108) имеет смысл обобщенного критерия гидродинамического подобия для процессов конвектив­ ного переноса в пористых средах, инвариантного по отношению к виду и особенностям структуры пористой среды. В частных случаях (при п = 0) он переходит в критерии подобия Рейнольдса, Ар­ химеда, Грасгофа и др.

С учетом принятых обозначений на основании (1.107) справед­ ливо равенство

S = А.

Сила, вызвавшая перенос массы, будет равна

V

где р — усредненный по объему слоя коэффициент массообмена, м/с; 1 — толщина слоя, м; D — коэффициент молекулярной диф­ фузии, м2/с; V — объем жидкости, находящейся в порах осадка, м3.

Выделим в объеме пористого слоя некоторый единичный объем в виде куба со стороной, равной толщине слоя 1 = ^ к пр , внутри которого осуществляется элементарный перенос массы. Объем жид-

47

кой фазы, находящейся внутри этого элементарного объема, с уче­

том коэффициента порозности е будет равен V = в* 372 . Тогда, под­ ставив в выражение (1.109) значение J из уравнения (1.110), получим

/ D - Nu? — диффузионное число Нуссельта (Шервуда).

В кРитеРиальном виде формула (1,111) может быть записана

следующим образом:

Ввиду подобия процессов тепло- и массопереноса, крите­ риальное уравнение теплопереноса может быть записано анало­ гичным образом, с заменой диффузионных критериев Nu и Рг со­

ответствующими им критериями подобия для процессов тепло­ обменаСогласно этому обобщенное критериальное уравнение меж-

фазного тепломассопереноса в пористых средах можно записать в ЬИДс

где Л функция пористости зернистого слоя.

п послеАних слагаемых уравнения (1.113) отвечают наличию внутренних течении в порах осадка, возникающих вследствие

48

каких-то внешних воздействий. Если пренебречь воздействием внешних факторов, то эти слагаемые можно опустить. С учетом этого допущения уравнение (1.113) примет вид

Выражение (1.115) по форме отвечает тепломассопереносу в изолированной системе в условиях турбулентного течения жидко­ сти или газа по каналам осадка. Для ламинарного режима (Re < Rexp)

в уравнении (1.115) исчезает поправка на турбулентность потока и уравнение упрощается:

Для удобства сопоставления уравнений (1.103) и (1.116) пере­ пишем уравнение (1.103) в виде

кК

\к /

Нетрудно заметить, что уравнения (1.116) и (1.117) внешне сход­ ны. Отличие состоит в наличии коэффициента пропорциональности и характерных параметрах в критериях Нуссельта и Рейнольдса. Поскольку величина константы Козени—Кармана кк зависит от

формы, сечения и извилистости пор, а для уравнения (1.103) в работе [32] не приведены диапазон значений пористости и виды засыпок, для сравнения коэффициентов в выражениях (1.116) и (1.117) можно принять средние значения кк = 4,65 и е = 0,39, что

справедливо для стационарных зернистых слоев с неупорядоченной укладкой частиц. В этом случае значения коэффициентов в урав­ нениях будут равны 0,34 и 0,29 соответственно. Заметим, что раз­ ница между ними составляет 15 %.

Анализ конвективного теплообмена в слое частиц включает два аспекта: определение коэффициентов теплообмена между теплоно­ сителями и установление закономерностей распределения темпе­ ратур в объеме слоя. Здесь основное внимание уделяется оценке интенсивности теплопереноса; вопросы расчета теплоносителей подробно рассматриваются ниже.

Характерной особенностью конвективного теплообмена в слое частиц является высокая интенсивность переноса теплоты между теплоносителями. Она объясняется ранней и довольно сильной

турбулизацией газовой фазы из-за сложной формы каналов для прохода газов со случайным чередованием сужений и расширений, поворотов и т. д. В целом, теплообмен в слое — сложное явление, определяющееся многими факторами [84], главными из которых являются следующие:

1) температура на поверхности и в глубине дисперсного слоя определяется не только передачей теплоты от газа к частицам материала (внешний теплообмен), но и отводом теплоты внутрь его (внутренний теплообмен);

2)внешний теплообмен в плотном слое осадка включает пере­ дачу теплоты от частицы к частице за счет теплопроводности и конвекции;

3)внутренний теплообмен определяется размером и формой частиц, их теплопроводностью и интенсивностью развития тепло­ вых явлений на их поверхности.

При расчетах теплообмена в неподвижном слое рекомендуется использовать формулы В. Н. Тимофеева, которые позволяют вычис­ лить средний для всего слоя коэффициент теплоотдачи:

Формулы В. Н. Тимофеева дают хорошие результаты для тер­ мически тонких частиц правильной сферической или близкой к ней формы [43]. В них отсутствует величина порозности слоя е. Влияние £ на интенсивность теплопереноса от газа к поверхности частиц слоя можно выявить из формулы Р. Ешара:

фициент конвекции близ поверхности частиц, Вт/(м2 К); Хг— коэф ­ фициент теплопроводности газа (воздуха), Вт/(М'К); vr — кинема­

тический коэффициент вязкости газа, м/с. Формула (1.120) спра­ ведлива для однородного по размерам частиц слоя при Рг = 0,7 и 100 < ReM < 4000. Число Рейнольдса рассчитывается по скорости

фильтрации, теплофизические свойства соответствуют средней тем­ пературе системы.

Для полидисперсного неподвижного слоя, включающего час­ тицы фракций d v d2, ..., dn, формула Ешара принимает вид

Nu3 = [2 S cm/ ( 1 - e J ]/(У/У, d/d,.) + Re05 + 0,005Re3. (1.121)

Здесь S CM — средняя порозность смеси частиц (слоя); У. и У — объем соответственно фракции и слоя в целом:

50

п эквивалентный диаметр частиц слоя, входящий в числа Ren и Nun,

d, = [У/lV d,) + V2/(Vd2) + ...]->.

Строгое решение задачи теплообмена в слое при неравно­ мерном газораспределении может быть обеспечено лишь на основе достоверной информации о поле скоростей газа в агрегате. При этом для вычисления локальных коэффициентов теплоотдачи аРл

(значений aF в данной точке) в условиях неподвижного слоя может быть рекомендована формула В. Б. Щербатского

Ыид = [0,31 - 0,3ехр(-0,0076 Re^)] - Re^+0’66ехр(-° 0175Re-)!, (1.123)

и которой в качестве определяющих параметров при расчете ло­ кальных чисел Nu3 и Rea приняты эквивалентный диаметр частиц и

локальная скорость газа в слое. Для слоя шероховатых частиц неправильной формы коэффициент п = 0,67, а для слоя шаро­ образных частиц п = 0,625.

Все указанные формулы характеризуют конвективный тепло­ обмен в слое термически тонких частиц. В тех случаях, когда на результирующую интенсивность теплопереноса заметно влияет вну­ тренний теплообмен, следует использовать суммарный коэффи­

и которой коэффициент А = 60 для частиц сферической формы и 75 — для частиц неправильной формы, а км — теплопроводность

вещества частиц.

1.6. Общие закономерности процессов фильтрования

Ранее уже отмечалось, что движение сплошной среды сквозь слой дисперсного материала — достаточно распространенное явле­ ние в промышленных технологиях, и в первую очередь это отно­ сится к процессу фильтрования.

Под фильтрованием понимают процесс разделения неодно­ родных систем (суспензий и аэрозолей) при помощи пористых перегородок, пропускающих сплошную (дисперсионную) среду и задерживающих дисперсную твердую фазу.

51

Аппарат для проведения этого процесса называется фильтром, осевший на перегородке слой твердых частиц с некоторым содер­ жанием жидкости между ними — осадком, а прошедшая через него жидкость — фильтратом. На практике могут представлять ценность либо оба продукта фильтрования (осадок и фильтрат), либо один из них.

Как указывалось, движущей силой процесса является разность давлений в разделяемой суспензии и за фильтрующей перего­ родкой. Она расходуется на преодоление гидравлических сопротив­

3)по режиму фильтрования: а) непрерывное, б) периодическое (последнее, в свою очередь, может протекать с постоянной ско­ ростью, при постоянном давлении или при изменении обеих величин);

4)по механизму процесса фильтрования: а) с образованием осадка на поверхности фильтрующей перегородки, б) с закупоркой пор фильтрующей перегородки;

5)по характеристикам осадка: а) сжимаемый и б) несжи­ маемый.

Фильтрование используется для разделения суспензий, содер­ жащ их твердые частицы, крупность которых не превышает размеров пор фильтрующей перегородки. Современное фильтра­ ционное оборудование способно отделять частицы крупностью от единиц микрометров до нескольких миллиметров.

Фильтрование сопровождается химическим и физико-хими­ ческим взаимодействием между жидкой средой, дисперсной фазой, перегородкой и корпусом фильтра. В подавляющем большинстве случаев это взаимодействие приводит к нежелательным последст-

52

пням, например быстрому росту гидравлического сопротивления, разрушению перегородки, нарушению целостности фильтра и пр. Поэтому структура осадка и перегородки, а также свойства жид­ кости играют важную роль при фильтровании. От этих факторов зависит в итоге и режим процесса [4, 58].

Общая теория фильтрования описывает лишь те закономер­ ности, которые свойственны всем перечисленным в классификации типам и режимам протекания процесса. Ее основой является эм­ пирический закон Дарси, открытый на основе изучения фильтрации жидкости сквозь естественные грунты еще в 1852—1855 гг. Со­ гласно этому закону объем фильтрата, проходящего через единицу поверхности фильтра за единицу времени, прямо пропорционален разности давлений и обратно пропорционален общему сопротив­ лению осадка и фильтрующей перегородки. Дарси установил, что при постоянном сопротивлении грунта расход жидкости, прохо­ дящей через поперечное сечение слоя, прямо пропорционален гидравлическому уклону, равному потере напора по высоте слоя, и обратно пропорционален сопротивлению грунта:

Л А

где О — объемный расход фильтрата, м3/с; АН — потери напора в слое, м; Лсл — высота слоя, м; Ra — сопротивление слоя грунта,

м^е/м3; F — площадь фильтрации, м2; i — гидравлический уклон. При рассмотрении закономерностей общей теории фильтро­

вания вводится допущение, согласно которому поры осадка имеют цилиндрическую форму, причем диаметры всех цилиндров одина­ ковы, а их длина равна толщине фильтрующей перегородки (так называемый идеальный фильтр). При переходе к реальным случаям вводят поправки (например, при помощи эмпирических коэффи­ циентов фильтрования).

На основании закона Дарси и в предположении, что значение морозности фильтрующей перегородки постоянно по сечению, уравнение кинетики фильтрования, согласно (1.83), можно пред­ ставить в виде [57]

где V — объем фильтрата, м3; т — продолжительность фильт­ рования, с.

В действительности уравнение кинетики фильтрования имеет б< >лее сложную форму, поскольку величина г может изменяться как но сечению слоя, так и во времени, что обусловлено непостоянством скорости движения фильтрата и зависимостью порозности от

53

состояния поверхности, на которой происходит образование осадка. Влияние скорости фильтрования особенно значимо на начальном этапе формирования осадка, поскольку в этот период мелкие час­ тицы суспензии проникают в поры перегородки, вызывая ее за­ купоривание. Забивка пор фильтрующей перегородки может вы­ зывать резкий скачок ее сопротивления, что негативно отражается на всех последующих стадиях разделения и снижает регенера­ тивную способность фильтроткани.

Характеристики осадка сказываются на эффективности филь­ трования в неменьшей степени. Как уже отмечалось, основным влияющим фактором является показатель сжимаемости осадка. Со­ противление несжимаемых осадков неизменно во времени вследст­ вие постоянства порозности и незначительно зависит от перепада давлений и скорости осаждения. У сжимаемых осадков по мере роста давления фильтрования происходит уменьшение порозности и, как следствие, наблюдается рост сопротивления движению фильтрата. Отметим также, что у сжимаемых осадков, в отличие от несжимаемых, зависимость между порозностью и давлением филь­ трования носит нелинейный характер, а у сильно сжимающихся осадков (гидроксидов железа и меди, волокнистых, высокопористых материалов и др.) увеличение Ар сверх некоторого критического значения приводит к уменьшению скорости фильтрования (рис. 1.10). Рисунок демонстрирует наличие некой оптимальной величины движущей силы, при которой производительность фильтра О = AV/Дт в случае сжимаемого осадка максимальна.

При фильтровании с закупориванием пор образования осадка не происходит, а дисперсные частицы закупоривают поры фильтру­ ющей перегородки. Для реализации этого режима необходимо, чтобы

Если подобная картина наблюдается при фильтровании с образованием осадка, то для того, чтобы исключить появление мутного фильтрата в начале процесса, при снятии осадка оставляют его тонкий слой на перегородке или начинают фильтрование при низком перепаде давлений.

Изменение давления при фильтровании не всегда целесооб­ разно, так как это требует использования дополнительных регу­ ляторов, в широких пределах варьирующих мощность насосных установок. В связи с этим наиболее часто используемым режимом протекания процесса является фильтрование с образованием осадка, проводимое при постоянном перепаде давлений.

Для определения типа процесса фильтрования при постоянном давлении устанавливают линейные зависимости между различными переменными, которые могут быть измерены в реальном процессе. Ниже приведены линейные зависимости для различных типов филь­ трования [81]:

с полным закупориванием пор — q—и;

с постепенным закупориванием пор — х—x/q; промежуточный — т— 1/и;

с образованием осадка — V—т/V,

здесь q — удельная производительность фильтра, т. е. объем филь­ трата, получаемый с единицы поверхности фильтрующей перего­ родки, м3/м 2; и — объем осадка, отложившегося на фильтрующей пе­ регородке при прохождении единицы объема фильтрата, м3/м 3, т — продолжительность фильтрования, с; V — объем фильтрата, м3.

Во всех случаях процесс фильтрования стремятся организовать гак, чтобы он протекал с образованием осадка и по возможности исключалась закупорка пор фильтрующей перегородки. Для этого в последнее время широко используются специальные вспомога­ тельные вещества, образующие на перегородке осадок, улавлива­ ющий мелкие частицы, что особенно эффективно при фильтрова­ нии разбавленных суспензий.

Сопротивление фильтрования R в общем случае можно пред­ ставить в виде суммы сопротивлений осадка Roc и фильтрующей

где Roc — сопротивление осадка при фильтровании под действием

разности давлений, Н'С/м3; г — удельное сопротивление осадка, 11-с/м4, т. в. сопротивление осадка высотой 1 м, отложенного на площади 1 м2.

Объем осадка, отложившегося на фильтре, можно выразить как произведение площади F фильтра на толщину hoc осадка или через

объем V прошедшего фильтрата. Тогда объем осадка будет равен uV. ( Следовательно,

и получим следующее выражение длясопротивления фильт­ рованию:

Как видно из уравнений (1.131) и (1.132), сопротивление R по мере образования осадка и увеличения его толщины возрастает, а скорость фильтрования уменьшается. Перепишем уравнение (1.132)

Ap

Интегрируя это выражение в пределах от 0 до т и от 0 до q, определим продолжительность фильтрования:

Ч

x = J ШЯ , К ' dq.

о Ч Ар Ар

После интегрирования получим

2Ар Ар

56

Решив уравнение относительно q, определим удельную произ­ водительность фильтра:

Из уравнений (1.134) и (1.135) следует, что сопротивление, встречаемое потоком фильтрата, по мере накопления осадка воз­ растает, поэтому постоянство этого потока во времени (следова­ тельно, и максимальная производительность фильтра) может поддерживаться лишь при непрерывном увеличении разности давлений.

Такой рабочий режим обеспечивается путем нагнетания сус­ пензии поршневым насосом. При использовании сжатого газа и вакуумирования Ар = const и с ростом высоты слоя скорость дви­ жения фильтрата снижается, а производительность фильтра падает. Если суспензия подается центробежным насосом, то в пределах его рабочей характеристики по мере нарастания слоя осадка проис­ ходит увеличение Ар, которое сопровождается уменьшением потока фильтрата.

1.7. Фильтрование с образованием несжимаемого осадка

Как уже отмечалось, основным свойством несжимаемых осадков является постоянство их пористости и сопротивления потоку движущейся по каналам жидкости в течение всего процесса фильтрования. Данное утверждение справедливо и для несжима­ емых фильтрующих перегородок (например металлических, порис­ тых керамических или стеклянных), но численное значение их удельного сопротивления может существенно отличаться от тако­ вого для осадка. Раздельный же учет Rx и Rn сильно усложняет

модель. Для упрощения расчетов допускают, что перегородка имеет небольшую толщину и ее сопротивление потоку фильтрата пре­ небрежимо мало [94].

В таком случае в уравнении (1.126) можно объединить посто­ янные величины, характеризующие свойства данного осадка, и с

После соответствующего преобразования уравнение (1.126) при­ мет вид

57

Выразим толщину отложившегося осадка hoc через объем про­

шедшего фильтрата, учитывая пропорциональность объемов осадка и фильтрата.

Связь между массовой долей дисперсной фазы в исходной сус­ пензии ам и толщиной осадка описывается уравнением ам = hocFpm-

•(1 — s). Массовое отношение Т : Ж можно выразить как

ам _ KcFpmi1-*

1 ~ ам РЖ(У + *РКс)

где Урж — масса фильтрата; hocFzрж — масса жидкости, задержав­

шейся в порах осадка. Используя последнее уравнение, определим высоту осадка:

h = . °мУРж

F[ ( l - E ) ( l - a J p m - а мерж]

иего объем после прохождения единицы объема фильтрата:

и= --------------Р£«---------------.

(1 - е )(1 - х )р ш - а мерж

Окончательно связь между толщиной осадочного слоя и объ­ емом фильтрата выражается зависимостью

Л= Vu/F.

ОС

На основании полученного соотношения уравнение кинетики фильтрования приведем к виду

Дифференциальное уравнение (1.138) можно проинтегрировать для двух режимов фильтрования (при постоянном давлении и при постоянной скорости).

В результате интегрирования (1.138) при Ар = const получим

Таким образом, фильтрованию при постоянном перепаде дав­ лений отвечает линейная зависимость между отношением х /7 и V.

Итогом интегрирования выражения (1.137) при постоянной скорости будет

тДржп

Последнее уравнение свидетельствует о наличии прямо про­ порциональной зависимости между Ар и V.

Если фильтрующая перегородка не отвечает условию, приня­ тому в начале раздела, и ее сопротивлением потоку фильтрата пренебречь нельзя, выражение (1.126) необходимо переписать в общем виде с раздельным учетом сопротивлений осадка и пере­ городки:

№+ « ,)

Следует учитывать, что под сопротивлением перегородки по­ нимаются не только помехи, создаваемые ее материалом, но и препятствие со стороны тонкого слоя осадка, оставшегося на ней после предыдущего цикла. При фильтровании суспензии с неиз­ менными во времени свойствами на конкретной фильтрующей перегородке в условиях устоявшегося процесса сопротивление Rn

можно считать постоянным. Для того чтобы проинтегрировать уравнение (1.137) и выявить закономерности кинетики процесса с учетом Rn, необходимо видоизменить его, учтя толщину фильтру­

ющей перегородки Лп и допустив приблизительное равенство удельных сопротивлений осадка и перегородки:

(1.142)

Fdx гцж(Л0С+Л п)

В соответствии с уравнением (1.138) запишем

Полученное выражение называется основным уравнением процесса фильтрования. Путем его интегрирования определяется связь между объемом получающегося фильтрата и продолжи­ тельностью процесса, учитывающая характеристики суспензии (рж),