5.Теория двойств-ти в лин-ом прогр-ии

З-ча наз.двойств-ой з-ей лин-го прогр.к з-че. Иногда з-чи 1,2 и з-чи 3,4 наз.парой взаимод-их з-ч.

Т1.Пусть набор вел-ин х1,х2…хn явл.пр-ым планом з-ч 1,2,а н-ор у1,у2…уn явл.произв-ым пл-ом з-чи 3,4.Тогда с1х1+с2х2…сnхn<=b1у1+b2у2…bnуm.Это осн-ое нерав-во теории двойств-ти.

Т2(Крит-ий опт-ти Канторовича).Если для нек-ых пл-ов х1*,х2*…хn*,ткж у1*,у2*…уm* пр-ой и дв-ой з-ч выполн-ся рав-во с1х1*+с2х2*…сnхn*=b1у1*+b2у2*…bnуm*,то 1-ый из этих пл-ов будет опт-ым пл-ом з-чи 1,2,а вт-ой-з-чи 3,4.

Т3(Малая т-ма дв-ти).Для сущ-ия опт-го плана прямой и двойств-ой з-ч необх-мо и дост-но сущ-ие плана в кжд из них.

Т4.Если 1 из 2-ых з-ч имеет опт-ое реш-ие,то и другая ткж имеет опт-ое реш-ие,причем опт-ое зн-ие цел-ой ф-ии при этом совп-ет.Если же 1 из з-ч не имеет реш-ия всл-ие неогр-ти цел-ой ф-ии,то др-ая з-ча не имеет реш-ия всл-ие того,что мн-во ее пл-ов пусто.И наоб-от,если 1 из з-ч имеет реш-ие всл-ие того,что мн-во ее пл-ов,то др-ая з-ча не имеет реш-ия всл-ие неогр-ти цел-ой ф-ии.

Т5(О дополн-ей нежестокости).Для того,чтобы планы(х1*,х2*…хn*),а ткж(у1*,у2*…уm*)явл-сь бы опт-ми пл-ми соотв-но пр-ой и дв-ой з-ч необх-мо и дост-но вып-ие след.усл.:хj*(а1jу1*+а2jу2*…аmjуm*-сj)=0, j=1,n,а ткж уj*(а1iхi*+аi2х2*…аinхn*-bi)=0,n+m усл-ий. Дн усл-ия наз.усл-ми дополн-ей нежестокости.Если к-то.из огр-ий з-чи 3,4 вып-ся как строгое нерав-во,то соотв-ие этому огр-ию комп-ты опт-го плана прямой з-чи>0.Если к.-л.из огр-ий з-чи 1,2 вып-ся как строгое нер-во,то соотв-ие этому огр-ию комп-ты опт-го плана двойсв-ой з-чи>0.Мжд перем-ми прямой и дв-ой з-ч им-ся след.соотв-ия.

Т6.Дв-ые оценки пок-ют приращ-ие опт-го зн-ия целевой ф-ии з-чи 1,2,вызв-ые малым изм-ем св-го члена соотв-го огр-ия,а точнее

Т.е.вел-на прибл-но равна изм-ию цел-ой ф-ии на опт-ом плане з-чи 1,2,при изм-ии соотв-го св-го члена огр-ия на ед-цу.

6.Транспортная задача.Построение первоначального плана

Построение плана по правилу наименьшей стоимости заключается в следующем. Рассматриваем матрицу (таблицу) транспортных расходов, стоимостей, данную изначально в качестве условия задачи. Выбираем клетку с минимальной ценой перевозки (клетка с номером i, j) и помещаем в эту клетку наименьшее из чисел {a_i, b_j}. Затем исключаем из рассмотрения строку, соответствующую поставщику (если а_i меньшее), или столбец, соответствующий потребителю (если в _j меньшее). Исключение строки означает, что запасы i-го потребителя удовлетворены. Из оставшейся таблицы снова выбираем наименьшую стоимость, и т.д. продолжаем до тех пор, пока все запасы не исчерпаны, а потребности не удовлетворены. Проверьте, что сумма чисел в каждой строке получившейся таблицы равна а_i , а сумма чисел в каждом столбце равна в_j , что и требовалось. Число занятых клеток должно равняться m + n – 1, в противном случае, если занятых клеток меньше, чем m + n– 1, дополним таблицу необходимым количеством нулей (нулевых перевозок) и будем считать эти клетки с нулями занятыми так, чтобы общее количество занятых клеток равнялось равно m + n – 1. Нули поставим в клетки, соответствующие минимальной стоимости.