2. Знакопеременные ряды

2.1. Понятие знакопеременного ряда

Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки:

,

где  для всех  , т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно. Например,

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости – признак Лейбница.

2.2. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.  .

2) общий член ряда стремится к нулю: . При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

Пусть дан знакопеременный ряд , где – произвольные числа (действительные или комплексные). Если ряд , составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд также сходится. В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся. Следовательно, если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то данный ряд называется условно сходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд Решение. 1. Исследуем на сходимость ряд из абсолютных величин членов данного ряда: = . Сравним этот ряд с рядом . Так как < , то > для всех n. Ряд расходится, так как расходится ряд (как ряд Дирихле при p= <1). Значит, по 1-му признаку сравнения расходится и ряд .

Итак, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

2. Выясним, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.

• Проверим, выполняется ли неравенство > для абсолютных

величин членов данного ряда:

= > .

Данное неравенство эквивалентно неравенству < , которое верно для любого n=1,2….Значит для все номеров n = 1,2…

• Найдём предел общего члена ряда: = = 0.

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполнены оба условия, содержащиеся в признаке Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится, однако он не является абсолютно сходящимся, поэтому данный ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно.

Задание 6. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:

1)	6)
2)	7)
3)	8)
4)	9)
5)	10)

3. Функциональные ряды

3.1. Понятие функционального ряда

Ряд, членами которого являются функции от x, называется  функциональным:

Придавая   определенное значение , получим числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка   называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда. Совокупность числовых значений аргумента x, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от  : . Определяется она в области сходимости равенством , где частичная сумма ряда.