2. Вычитание.

Вычесть из одного вектора другой – это значит к данному вектору прибавить вектор, противоположный второму: .

3. Умножение вектора на число.

Если данный вектор умножить на число , получится следующий вектор :

если , то ,

если , то .

Если , то длина вектора увеличится в раз, если , то длина уменьшается в раз.

Свойства операции

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

Доказательство 4. Если , то ;

если , то ;

если и имеют разные знаки, то в обеих частях равенства будут нули.

5.

Определение 3. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом и обозначается .

.

Лекция 2

3. Проекция вектора на вектор (ось), ее свойства. Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим вектор и вектор (ось) (см. рис. 1). Осью называется прямая, на которой задано направление.

Опустим из точек перпендикуляры на ось . Получим точки , (основания перпендикуляров) и соответствующий вектор . Параллельным переносом поместим вектор в точку , получим вектор , причем = . Обозначим через угол между векторами и .

Определение. Проекцией вектора на ось называется число, обозначаемое и равное длине вектора , если вектор одинаково направлен с вектором (обозначается как ) и , если вектор противоположно направлен с вектором (обозначается как ). Итак,

(3.1)

Для рис. 1 имеем , так как , для рис. 2 , так как .

Найдем связь между проекцией вектора на вектор (ось) , длиной вектора и углом . Для этого рассмотрим треугольник (он прямоугольный, так как ). Тогда

,

но так как , то . Итак,

. (3.2)

Рассмотрим некоторые простейшие свойства проекции вектора на ось .

1) Из формулы (3.2) следует, что:

если угол – острый ( ), то , так как при ;

если угол – тупой ( ), то , так как при ;

если угол , то , так как при ;

если угол , то , так как при ;

2) ;

3) ( – некоторый произвольный вектор).

4. Координаты вектора (в базисе), разложение вектора по базису. Линейные операции над векторами в координатной форме

Рассмотрим в пространстве прямоугольную декартову систему координат (ПДСК) (см. рис. 3) и в ней вектор .

На координатных осях рассмотрим соответственно единичные векторы , , ( , ), которые назовем ортами ПДСК . Тройку векторов , , назовем базисом ПДСК . Рассмотрим проекции вектора на оси соответственно. Тогда числа назовем координатами вектора в ПДСК и обозначают .

Разложение вида

(4.1)

называется разложением вектора по базису , , .

Введя координаты вектора, можно определить линейные операции над векторами в координатной форме. Пусть , – векторы, заданные своими координатами. Тогда

,

,

,

.

Векторы , коллинеарные, если выполняется условие пропорциональности

( – коэффициент пропорциональности). (4.2)

Пример. Даны векторы , , . Найти координаты вектора . Проверить, являются ли коллинеарными (параллельными) векторы и .

Решение. Согласно формулам имеем

2 + –3 = + – = = – = .

Итак, вектор имеет координаты .

Вектор = + = , вектор имеет координаты = – = . Составляем условие (4.2) и проверим, будет ли оно выполняться или нет для векторов и :

.

Очевидно, что это условие не выполняется: , значит, векторы и не коллинеарны.

П усть заданы координаты начальной и конечной точек вектора, надо найти координаты вектора. Начальная точка , конечная точка ─ . , следовательно, .

Длину вектора можно найти по формулам :

Рассмотрим задачу деления отрезка в заданном отношении. Пусть точка делит отрезок так, что

или , тогда

, , отсюда следует, что

, если из этого равенства выразить , получим формулу

или в координатной форме

Если точка делит отрезок пополам, то есть , то

.

Лекция 3

5. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.

Основные критерии (свойства) линейной зависимости,

независимости системы векторов

Определение 1. Векторы называются линейно независимыми, если равенство

(1)

выполняется только при условии . Если в равенстве (1) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то векторы называются линейно зависимыми.

Теорема 1. Система ненулевых векторов зависима тогда и только тогда, когда некоторый вектор линейно выражается через остальные.

Доказательство.

а) Пусть векторы линейно зависимы , тогда в равенстве (2.2) хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, например, .В этом случае получаем

,

то есть вектор линейно выражается через остальные.

б) Пусть какой-то из векторов линейно выражается через остальные, например, вектор , то есть

,

тогда , коэффициент при отличен от нуля, следовательно, по определению, векторы линейно зависимы.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

Доказательство.

а) Пусть векторы и линейно зависимы, тогда один из векторов линейно выражается через другой, например, , а это и означает, что векторы коллинеарны.

б) Пусть векторы и коллинеарны, то есть , значит, , коэффициент при отличен от нуля, следовательно, по определению, векторы линейно зависимы.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.

Доказательство.

а) Пусть векторы линейно зависимы, тогда один из них линейно выражается через остальные, например, , отнесем эти векторы к одному началу, проведем через векторы и плоскость , тогда векторы и будут тоже принадлежать этой плоскости, следовательно, вектор принадлежит плоскости , то есть векторы компланарны.

б) Пусть векторы компланарны, перенесем их в одну точку плоскости, если векторы и

не коллинеарны, то , то есть линейно выражается через и , это означает,

что векторы линейно зависимы; если векторы и коллинеарны, то есть , то

, значит вектор линейно выражается через векторы и , следовательно, векторы

линейно зависимы.

Определение 2. Совокупность линейно независимых векторов таких, что любой вектор линейно выражается через эти векторы, называется базисом.

Из приведенных теорем следует, что на плоскости базисом могут быть любые два неколлинеарных вектора, в пространстве базисом могут служить любые три некомпланарных вектора.

Если векторы образуют базис, то произвольный вектор линейно выражается через эти векторы, то есть

,

тогда числа являются координатами вектора в данном базисе, .