§4. Нахождение равнодействующей.

Нахождение равнодействующей   нескольких сил   осуществляется с помощью правил векторного сложения:  .

Пример 2. Две силы   и   приложены к одной точке и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис.1а). Найдите их равнодействующую.

ОТВЕТ. Модуль равнодействующей равен разности модулей   и  , то есть  . Равнодействующая приложена в той же точке и направлена в сторону большей по модулю силы  (рис.1б).

Пример 3. Две силы   и   приложены к одной точке О и направлены под углом   друг к другу (рис.2). Найдите их равнодействующую.

ОТВЕТ. Согласно правилу параллелограмма, равнодействующая определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах   и   как на сторонах (рис.2б). В нашем случае модуль равнодействующей найдём по теореме косинусов:   Направление равнодействующей определим посредством угла   , который равнодействующая составляет с одной из заданных сил, например – с  . В нашем случае по теореме синусов  . Точка приложения равнодействующей совпадает с точкой приложения исходных сил.

Замечание. Вместо правила параллелограмма при сложении двух векторов часто пользуются правилом треугольника. Для рассмотренного выше примера 4 векторный треугольник будет иметь вид, как на рис.3, и угол  между направлениями действия сил будет являться внешним углом треугольника.

Если нужно сложить более двух сил, приложенных в одной точке, то пользуются правилом многоугольника:  из конца первой силы проводят вектор, равный и параллельный второй силе; из конца второй силы – вектор, равный и параллельный третьей силе и так далее. Замыкающий вектор, проведённый из точки приложения сил к концу последней силы, по величине и направлению равен равнодействующей. На рис.4 это правило проиллюстрировано на примере нахождения равнодействующей   четырёх сил  ,   ,   и  . Заметим, что при  этом складываемые векторы не обязательно должны принадлежать одной плоскости.

Пример 4. Три одинаковые по модулю силы  ,   и   приложены к одной точке, лежат в одной плоскости и направлены  под одинаковыми углами   попарно друг к другу (рис.5а). Найдите их равнодействующую.

ОТВЕТ. Равнодействующая этих сил равна нулю. Действуя по правилу многоугольника, получим на чертеже (рис.5б) замкнутый треугольник сил  ,   и   , и замыкающий вектор будет нулевым.

Пример 5. Три силы  ,   и   приложены в одной точке и направлены взаимно перпендикулярно друг другу (силы   и   лежат в горизонтальной плоскости, а сила   направлена вертикально) (рис.6). Найдите равнодействующую.

ОТВЕТ. Сложение по правилу многоугольника даёт результат, изображённый на рис.6. Видим, что равнодействующая   представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на векторах  ,   и   как на рёбрах. Модуль равнодействующей, следовательно, равен  . Направление равнодействующей определим с помощью углов   и  . Из рис.6б видим, что эти углы таковы, что . Точка приложения равнодействующей совпадает с точкой приложения исходных сил.

В ряде случаев удобнее производить сложение векторов «методом проекций».

Пример 6. Три силы  ,   и   приложены к одной точке  , лежат в вертикальной плоскости и составляют углы  ,   и   с  горизонталью соответственно (рис.7а). Найдите равнодействующую этих сил.

ОТВЕТ. Проведём  две взаимно перпендикулярные оси   и   так, чтобы ось   совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила  . Спроецируем данные силы на оси координат (рис.7б). Проекции   и   отрицательны. Сумма проекций всех сил на оси   равна проекции на эту ось равнодействующей  . Аналогично для проекций на ось  :  . Модуль равнодействующей определяется по теореме Пифагора:  . Направление равнодействующей определим с помощью угла  , который составляет вектор равнодействующей и осью   (рис.7в): 

В начало