26. Свойства математического ожидания и дисперсии.

Свойства математического ожидания:

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Утв. если вероятность возможного значения равна то вероятность того, что величина СХ примет значение также равна .

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: (Док-во через утв.)

Случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Свойства дисперсии:

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: (док-во через св-ва 3 и 2-выносим С=-1)

27. Коэффициент ковариации и его свойства. Коэффициент корреляции как мера связи случайных величин. Коэффициент корреляции

Коэффицие́нт корреля́ции — это показатель характера взаимного стохастического влияния изменения двух случайных величин.

Коэффициент корреляции обозначается латинской буквой и может принимать значения от −1 до +1.

Если значение по модулю находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи, а если ближе к 0 — связь отсутствует или является существенно нелинейной. При коэффициенте корреляции равном по модулю единице говорят о функциональной, то есть изменения двух величин можно описать линейной функцией.

где cov — ковариация, D — дисперсия.

Вообще говоря на парах мы через R обозначали корреляционную матрицу а через r коэффициент корреляции.

свойства коэффициента :

1)

2)

3)

корреляционная матрица что рисовали на парах

Коэффициентом ковариации называется выражение:

cov(X,Y)=M[(X-MX)(Y-MY)]=M[XY-XMY-YMX+MX•MY]=MXY-2MX•MY+MX•MY=MXY-MX•MY= k[x,y]

свойства:

1)

2)

ковариационная матрица, что рисовали на парах:

Если случайные величины XY независимы, то их коэффициент ковариации равен нулю, обратное в общем случае неверно.

28. Зависимые и независимые случайные величины.

Мы назвали две случайные величины независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Теорема. Для того чтобы случайные величины были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих:

Доказательство.

а) Необходимость.

Пусть независимы. Тогда события независимы, поэтому

б) Достаточность.

Пусть , отсюда

Тоесть вероятность совмещения событий равна произведению вероятностей этих событий. Следовательно, случайные величины независимы.

Следствие. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей рас-

пределения составляющих: