15. Равномерное распределение и его числовые характеристики.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

то

при большом желании и присутствии мазохизма можно вывести 1/b-a ручками из свойства нормировки плотности

16. Показательное распределение и его числовые характеристики.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью

f(x) =

где —постоянная положительная величина.

Функция распределения показательного закона

F(x) =

Вероятность попадания в интервал (а, Ь) непрерывной случайной величины X, распределенной по показательному закону»

P(a < X < b) = -

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:

M(X) = = , D(X) = ,

Таким образом, математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

17. Нормальная функция распределения. Характеристики нормального распределения. Стандартное нормальное распределение. Свойства стандартного нормального распределения.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

записывается нормальное распределение в виде , где а - коэффициент сдвига, σ > 0 - коэффициент масштаба

М (X) = а, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру .

, т.е. Среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Свойство 1

Если случайные величины X₁ и X₂ независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями μ₁ иμ₂ и дисперсиями   и   соответственно, то X₁ + X₂ также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ₁ + μ₂ и дисперсией  .

и вроде как

18. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал. Функция Лапласа. Связь нормальной функции распределения с функцией Лапласа. Свойства функции Лапласа.

Уже известно, что если случайная величина задана плотностью распределения , то вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу , такова:

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда :

Преобразуем тогда имеем:

Пользуемся функ.Лапласса

получим:

Свойства функции Лапласа:

1)

2)

3) (х) - бесконечно возрастающая

19. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило «трех сигм».

Требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства

Пользуясь нормальной функцией распределения:

Получим

сущность правила трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Преобразуем

Получим

Если и следовательно то

Такие события (0,0027) исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными.