13. Числовые характеристики случайной величины. Определение математического ожидания, начальные и центральные моменты, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, квантили случайной величины.

Часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями.

Опр. Числовыми характеристиками случайной величины называют числа, которые описывают случайную величину суммарно.

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание.

Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

для НСВ мат ожидание выглядит так:

математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Утв. математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует, поэтому вводят и другие числовые характеристики. (такие как дисперсия).

Пример:

М (Х) = -0,01 *0,5 + 0,01* 0,5 = 0,

М (У) = -100 * 0,5 + 100 * 0,5 = 0.

Одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям. .

Пусть закон распределения X известен:

X
P

отклонение имеет следующий закон распределения:

P

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

(либо док-во через раскрытие квадрата)

Свойства дисперсии в вопросе 26.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Начальным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

Центральным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения Fx (x) случайной величины x принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение Fx (x) = p. Решения такого уравнения (соответствующие значения x) в теории вероятностей называются квантилями.

14. Распределение Пуассона и его числовые характеристики.

если проводится n(пусть n - велико) испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А = р. Если р очень мало (р<0.1) то формула Бернулли непригодна и исползают формулу Пуассона

распределение пуассона

X	0	1	....	k
P

Свернули(???) по ряду Тейлора

Аналогично находим дисперсию

M[X] = λ

D[X] = λ

- среднеквадратическое отклонение

также следует заметить