9. Случайные величины. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретные случайные величины

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Закон распределения дискретной случайной величины.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

x	1	2	3
p	1/3	1/2	1/5

• p1=P(X=x1)

• 

• - функция распределения

Свойства:

1. [0;1]

2. F(-inf)=0; F(+inf)=1

3. P(a<=X<=b)=P(b)-P(a); {x<b}={x<a}V{a<=x<b}

4. F(x) – неубывающая

5. непрерывна слева

При графическом задании: в прямоугольной системе координат строят точки (x<x1;0); (x1;p1); (x2;p1+p2); …(x>xn; 1)

9. Случайная величина. Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей, плотность распределения. Определение и свойства

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Непрерывные случайные величины.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Функция распределения вероятностей, плотность распределения.

• Пусть Х – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством F(x)=P(X<=x) называется функцией распределения случайной величины Х.

Свойства:

1. F(x) — непрерывная возрастающая функция.

2. ;

3. F(x₂) – F(x₁) = P(x₁ < x £ x₂)

• f(x) – плотность распределения непрерывной случайной величины

свойства:

1. f(x)>=0

2. - условие норм. плотности

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию первую производную от функции распределения :

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах :

Свойство 1. Плотность распределения - неотрицательная функция

(

Доказательство. Функция распределения - неубывающая функция, следовательно, ее производная - функция неотрицательная.

Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах равен единице:

Доказательство. Такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.