8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

При больших n применение форм.Берн.затрудн-но из-за сложности выч.фактор.и степеней.В этом случ.исп-тся приближ.формулы.Рассм.2 случая: 1) или ;

2) p(0,1)и не близко ни к 0, ни к 1.

Теорема Пуассона. If в сх.Берн. , так,что np a, тогда .Замеч.:1) –среднее число появл.соб.А в n испыт.2)As rule,теор.Пуассона прим,когда 3)В конце книг поТВесть табл.для подсчета вер-ти для разл.aи m.

Лок.пред.теорема Муавра-Лапласа.If вер-сть наступл. некот.соб.в n независ.испыт.постоянна и=p,p(0,1),то вер-сть того,что в этих испыт.соб.A наступ.ровноmраз, удовл.при n соотнош. ,где равномно по всем m, для кот. наход. в каком-то конечн. интервале; Ф-ция -плотность норм.распред.

Интегр.пред.теорема Муавра-Лапласа.If m-число наступл. соб.в n независ.испыт.,в каждом из к-х ве-сть этого соб.=p, p(0,1),то равномерно относ-но a и b(−∞<a<b<+∞) n имеет место соотношение , где -ф-ция Лапласа. Замеч.:1)Ф-ция Лапласа нечетная: = - .2)Ф₀(z) асимптотич.и при она быстро стрем.к 0,5. Это стремл. настолько быстрое, что при можно счит=0,5. 3) Плотность норм.распред. - четная функция.4)Ф-ции , в конце книг по ТВиМС заданы таблично.

9. Функция распределения вероятности и ее свойства.

Случ.велич.ξ, наз.величина, значеие кот.завис.от случая и для кот. Определена ф-ция распределения.СВобознач.греч. буквами, напр.ξ(кси), η(эта) и т.д.,а их возможные значения малыми лат.буквами x₁,x₂,...,y₁,y₂… СВ бывают дискретные (если приним.конечное счётное знач.), непрерывные и др. Законом распред.дискретной СВ ξ наз. соответствие м/у возможными знач.и их вер-ми. Обычно для дискр. СВ ξ з-н распред. изображ.в виде табл. Соб.ξ= x₁;ξ=x_2,… несовместны и образуют полную группу, поэтому ∑p_i=1

Пусть ξ-СВ и x -произвольное действит.число.Вер-сть того, что примет знач.меньшее чем x наз.функцией распред. вер-ти. .СВ наз.непрерывной, если ее ф-ция распред.F(x)непрерывна.

Функция распределения вероятностей явл. неслуч. величиной, вычисленной на основ.закона ф-ции распределения.

Свойства функции распределения:

1. , 0 , так как это вероятность.

2. F(x) –неубывающая функция.т.е.

Следств:2.1) Вер-сть попаданияСВ в задан.интервал есть приращ.ф-ции распред.на этом интервале.P(x₁≤ ≤x₂)=F(x₂)- F(x₁).

2.2)Вер-сть принять одно фиксиров.знач.для непрерывной СВ=0,т.к. функция распред.непрерывной СВнепрерывна.

2.3) Вер-сть попадания непрер.СВ в откр.или замкнутый промеж. одинакова. P(a≤ ≤b)= P(a< ≤b)= P(a≤ <b)= P(a< <b).

3. F(x)непрерывна слева в кажд.точке

4.F(-∞)=0

5. F(+∞)=1

10. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

Плотностью распределения вер-тей СВ наз.производная функции распределения: .

Свойства.

1. , , т.к.это производная неубыв.функции.

2. , т.к.

3. .Следует из определения и свойства 2.

4. Свойство нормировки: .

В частности,если все возможные значения СВ заключены в интервале от a до b, то .

СВ наз.распределенной по равномерному закону, если ее плотность вер-ти принимает постоянное значение в пределах заданного интервала.