4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Если событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H1,H2….Hn, то вероятность события A вычисляется по формуле полнойвероятности:  , где   - вероятность гипотезы Hi,     - условная вероятность события A при выполнении гипотезы Hi ( i=1,2,….,n)

Проиллюстрируем формулу полной вероятности на графе с выделенной вершиной:

Полная вероятность события A равна весу всего вероятностного графа с гипотезами.

Формула Байеса

Пусть   — полная группа событий, и   — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что имело место событие  , если в результате эксперимента наблюдалось событие  , может быть вычислена по формуле:

Док-во. По определению условной вероятности,

5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшая частота.

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности:

Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0 < .p < 1).

Теорема Бернулли

Если производится серия из n независимых испытаний Бернулли, в каждом из которых успех появляется с вероятностью р, то вероятность того, что успех в n испытаниях появится ровно m раз , выражается формулой

P_n(m)=C_n^mp^mq^n-m, где q=1-p – где вероятность неудачи.

Эта формула называется формулой Бернулли.

Число m, при котором биномиальные вероятности P_n(m) достигают своего максимального значения (при фиксированном числе испытаний n) называют обычно наиболее вероятным наивероятнейшим числом успехов. Справедливо следующее утверждение о наивероятнейшим числе успехов:

Наивероятнейшее число успехов m* в серии из n независимых испытаний Бернулли (с вероятностью успеха р в одном испытании) определяется соотношением np-qm*np+p, причем

если число np-q - дробное, то существует одно наивероятнейшее число m*;

если число np-q - целое, то существует два наивероятнейших числа

m*=np-q, m*=np+p;

если np - целое число, то наивероятнейшее число m*=np.

6. Повторные независимые испытания. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточ­но велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна:

. где функция f(x) определяется равенством:

.

Формула называется формулой Муавра — Лапласа. С воз­растанием n относительная точность значений вероятностей, по­лучаемых по ней, возрастает. В этом и заключается содержание ло­кальной теоремы Муавра — Лапласа.

Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы, составлена таблица значений функции f(x). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции, а именно:

1. Функция f(х) является четной, т. е. f (-х) = f (х). Поэтому в таблице приведены значения функции лишь для положительных значений аргумента.

2. Функция f(х) — монотонно убывающая при положительных зна­чениях х. Предел f(х) при равен нулю.

3. Если х > 5, то можно считать, что . Функция f(х) уже при х = 5 очень мала: f(5)=0,0000015. Поэтому таблица значений функции f(х) не продолжена для значений х > 5.

(теорема Пуассона⁽¹⁾). Пусть   и   так, что  . Тогда для любого   вероятность получить   успехов в   испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха   стремится к величине  :

Доказательство. Положим  . Тогда   и

(8)

В соотношении (8) мы воспользовались тем, что   и замечательным пределом  . Докажем последнее свойство: