36. Производная по направлению. Градиент.

Производной z’_l по направлению l ф-ции 2х переменных z=f(x;y) наз-ся предел отношения приращения ф-ии в этом направлении к величине перемещения ∆l при стремлении последней к нулю, т.е. z’_l=lim ∆l->0 ∆_lz/∆l. Пр-ая z’_l хар-ет скорость изменения функции в направлении l. Градиентом ˅z функции z=f(x,y) наз-ся вектор с координатами (z’_x,z’_y).

37. Экстремум функции 2х переменных.

Точка M(x0,y0) наз-ся т.max (min) ф-ии z=f(x,y) если сущ-т окрестность т.M такая что для всех точек (x,y) из этой окр-ти вып-ся неравенство f(x0,y0)≥f(x,y). Теорема: пусть точка (x0,y0) есть точка экстремума дифф-ой ф-ии z=f(x,y), тогда частные производные f’_x(x0,y0) и f’_y(x0,y0) в этой точке равны 0. Необходимое условие экстремума: в точке min, max диф-ой ф-ии градиент = 0. Достаточное условие экстремума ф-ии 2х переменных: пусть ф-ия z=f(x,y) a)определена в некот.окрестности критич.точки (x0,y0), в кот-ой f’_x(x0,y0)=0 и f’_y(x0,y0)=0; b)имеет в этой точке непрерывные частные произ-ые 2го порядка f’’xx(x0,y0)=A, f’’xy(x0,y0)=f’’yx(x0,y0)=B; f’’yy(x0,y0)=C. Тогда, если ∆=AC-B²>0, то в точке (x0,y0) ф-ия z=f(x,y) имеет экстремум, причем если А<0-max, A>0-min. если ∆=AC-B²<0 ф-ия не имеет экстр. если ∆=AC-B²=0 то вопрос о наличии экстр.остается открытым. Т.е. чтобы найти экстр.ф-ии 2х переменных надо: найти частн.пр-ые ф-ии z’_x z’_y , решить сист.уравнений z’_x=0 z’_y=0 и найти критич.точки ф-ии, найти частн.пр-ые 2го порядка,вычисл.их значения в кажд.критич.точке и сделать вывод о наличии экстр., найти экстр. ф-ии.

39. Первообразная и неопределенный интеграл.

Функция F(x) наз-ся первообразной ф-ей для ф-ии f(x) на промежутке x, если в каждой точке х этого промежутка F’(x)=f(x). Совокупность всех первообразных для ф-ии f(x) на промежутке x наз-ся неопределенным интегралом от ф-ии f(x) и обозначается ∫f(x)dx, где ∫-знак интеграла, f(x)-подынтегральная ф-ия, f(x)dx-подынтегральное выражение. ∫f(x)dx=F(x)+C.Операция нахождения интеграла от нек.ф-ии наз-ся интегрированием этой ф-ии.

40. Свойства неопределенного интеграла.

1) Производная от неопр. ∫ равна подынтегральной ф-ии, т.е. (∫f(x)dx)’=f(x); 2)Дифференциал неопр. ∫ = подынтегр.выражению d(∫f(x)dx)=f(x)dx; 3)неопр. ∫ от дифференциала нек.ф-ии равен этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого ∫dF(x)=F(x)+C; 4)Постоянный множитель можно выносить за знак ∫, ∫αf(x)dx=α∫f(x)dx; 5) Интеграл от алг.суммы 2х ф-ий равен такой же сумме интегралов от этих ф-ий ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

41. Методы нахождения неопределенного интеграла.

1) Метод замены переменной (подстановки) ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ’(t)dt, x=φ(t)-ф-ия диффер.на данном промежутке. 2) интегрирование по частям ∫udv=uv-∫vdu фиксируется разбиение подынтегр.выражения искомого интеграла на 2 сомножителя (u и dv) первый дифф-ся, второй интегрируется.

42. Понятие интегральной суммы и определенного интеграла.

Инт.сумма: пусть на [a,b] задана ф-ия y=f(x). Разобьем отр.[a,b] на n элементарных отрезков точками x0,x1,.,xn a=x0<x1<x2<..<xn=b. На кажд.отрезке [x_i-1,x_i]разбиения выберем нек.точку Е1 и положим ∆x_i=x_i-x_i-1, где i=1,2,..,n. Сумму вида наз-м интегральной суммой для ф-ии y=f(x) на [a,b]. Опр. ∫: пусть предел интег.суммы при стремлении max∆xi к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x1,x2,.. и точек E1,E2,.. Тогда этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ии y=f(x) на [a,b].