30.Исследование ф-ии: выпуклость и точки перегиба.

При исследовании функции и построении ее графика на одном из этапов мы определяем точки перегиба и интервалы выпуклости. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х. Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой. Точка называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее. Если функция y = f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство , то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х. Алгоритм нахождения точек перегиба функции: Находим все абсциссы x0 возможных точек перегиба графика функции ( или и ) и выясняем, проходя через какие x0 вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки будут точками перегиба графика функции.

31. Асимптоты графика ф-ии.

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий , Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если . Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.

32. Приложение производной в экономике.

Интерпретация т.Ферма: один из базовых законов т.про-ва звучит как оптимальный для пр-ля ур.выпуска товара опр-ся равенством MD(доход) и MS(издержки). Ф-ия прибыли = С(х), тогда С(х)=D(x)-S(x), при C’(x)=0 прибыль макс. => MD(x0)=MS(x0). Уровень наиб.экономичного пр-ва: ср.издержки (AS)=пред.изд.(MS). AS=S(x)/x, min дост-ся в критич.т.функции y=AS(x), т.е. при AS’(x)=S’x-S/x²=0 =>S’*x-S=0 или S’=S/x,т.е. MS(x)=AS(x). Закон убывающей доходности: c увелич.пр-ва доп.продукция,пол-ая на кажд.нов.ед.ресурса с нек.момента убывает, т.е. ∆y/∆x (∆x-приращение ресурса, ∆y-приращение выпуска прод-ии) уменьшается при увеличении х. => ф-ия y=f(x),выраж-щая зависимость выпуска прод-и от вложенного ресурса, явл-ся ф-ией, выпуклой вверх. Ф-ия полезности: U=U(x) (x-кол-во товара,U-полезность) закон: с ростом кол-ва товара доп.полезность от каждой новой его единицы с некотор.момента убывает. Переформулировка: ф-ия полезности явл. выпуклой вверх.

33. Эластичность функции.

Эластичностью ф-ии E_x наз-ся предел отношения относит.приращения ф-ии y к относит.приращению переменной х при ∆х->0: E_x(y)=lim ∆x->0 (∆y/y:∆x/x)=x/y lim ∆x->0 ∆y/∆x=x/y*y’. Показывает насколько % измен-ся ф-я y=f(x) при изменении независимой переменной на 1%. Геомет.смысл: E_x(y)=x/y*y’=x/y tgα, где tgα – tg угла наклона касательной. Т.е. эластичность ф-ии (по абс.величине) = отношению расстояний по касательной от данной точки графика ф-ии до точек ее пересечения с Ох и Оу. Свойства эл-ти: 1)эл-ть = пр-ию независимой переменной х на темп изменения функции Ty=(lny)’=y’/y,т.е.E_x(y)=xTy; 2)эл-ть произв-я 2хфункций = сумме эластичности этих ф-ий: Ex(uv)=Ex(u)+Ex(v); 3)эл-ти взаимно обратных ф-ий – взаимно обратные величины Ex(y)=1/Ey(x).