25. Свойства функций, непрерывных на отрезке (т.Вейерштрасса, Больцано-Коши)

1. Если ф-ия y=f(x) непрерывна на отр. [a; b], то она ограничена на этом отр.

2. Если ф-ия y=f(x) непр. на отр. [a; b], то она достигает на этом отр. наим. знач. m и наиб. знач. M (теорема Вейерштрасса).

3. Если ф-ия y=f(x) непр. на отр. [a; b] и знач-я ее на концах отр.f(a)и f(b) имеют противоп. знаки, то внутри отр. найдется точка μ принадлеж.(a,b), такая, что f(μ )=0 (теорема Больцано-Коши).

26. Производная функции, ее геометрический, механический и экономический смысл.

Производной y=f(x) наз-ся предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента к стремлению последнего к нулю. Нахождение производной наз-ся дифференцированием. Геометрический смысл производной: производная f ‘ (x0) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке х0, т.е. k=f’(x0), Тогда уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке ч0 примет вид y-f(x0)= f’(x0)(x-x0).Механический смысл производной: производна пути по времени s’(t0) есть скорость точки в момент t₀/v(t₀). Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная пути S по времени t. Экономический смысл. V(t), t0 принадлежит (a,b). Тогда за время ∆ t предприниматель произведет продукции V(t0 + ∆ t) - V(t0).Средней производительностью труда называется отношение

27. Основные правила дифференцирования. Производная неявной функции. Производные высших порядков.

C’=0; x’=1; (u±v)’=u’±v’; (u*v)’=u’v+uv’; (u/v)’=u’v-uv’/v²; y=f(u) u=f(x) y=f[φ(x)] y’=f’[φ(x)]* φ’(x). Пр-ая неявной ф: F(x,y)=0 для нахождения y’ нужно продиф.уравнение, рассматривая y как ф-ию от x, а затем из получ.выражения получить y’. Произ.высш.пор.: когда мы берем пр-ую от ф-ии, то f’(x) также явл.ф-ией от x₁ => если f’(x) дифференцируемая, то от нее также можно получить произ-ую. f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’

28. Основные теоремы диффернционального исчесления функции одной переменной.

Т.Ферма: если диф-я на нек.промежутке x, y=f(x) достигает наиб.или наим.значения во внутр.точке х₀ этого промежутка, то пр-ая ф-ии в этой точке=0. Т.Ролля: пусть y=f(x): 1)непрерывна на [a;b]; 2)дифференц.внутри отрезка; 3)f(a)=f(b) тогда сущ-т точка Е в кот.произ-я=0. Т.Лагранжа: непрерывна на [a;b]; 2)дифференц.на отрезке тогда сущ-т хотя бы одна точка Е такая что прои-ая в этой точке = f’(E)=f(b)-f(a)/b-a, f(b)-f(a)=f’(E)(b-a); Т.Коши: если f(x) и g(x) непрерывны на отр. [a;b] дифференц.на (a;b) и g(x)≠0 на (a;b) тогда f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(E)/g’(E).

29.Исследование функции: монотонность и точки экстремума.

монотонность функции связана с тем, каков знак ее производной: Если производная положительна, то функция возрастает; Если производная отрицательна, то функция убывает. Достаточное условие вострастания ф-ии: если пр-ая диф.функции положит.внутри нек.промежутка x,то внутри этого промежутка ф-ия возрастает. Экстремумы: 1) x0 наз-ся т.max ф-ии y=f(x) если в нек.окрестности т.x0 вып-ся f(x)<f(x0) для любой т.х из этой окрестн. 2) х1 нах-ся т.min если в нек.окр-ти т.х0 вып-ся f(x)>f(x0) значение f(x0)-max, f(x1)-min.