20. Бесконечно малые величины, их свойства. Эквивалентные бесконечно малые.
Бесконечно
малая (величина) — числовая функция или
последовательность, которая стремится
к нулю.
Последовательность
an называется бесконечно малой, если
.
Например, последовательность чисел
an=1/n.
Функция называется бесконечно малой в
окрестности точки x0, если
.
Функция называется б.м. на бесконечности,
если
или
.
Также бесконечно малой является функция,
представляющая собой разность функции
и её предела, то есть если
то
f(x) − a = α(x),
.
Св-ва:
1)алгебр.сумма конечн.числа б.м. есть
б.м.величина; 2)пр-е б.м.величины на
огр.ф-ию есть б.м.величина; 3)частное от
деления б.м. на ф-ию, lim
которой отличен от 0, есть велич.б.м. Если
,
то б.м.в-ны α и β эквивалентные.
21. Бесконечно большие величины, св-ва. Связь между б.Б. И б.М.
Бесконечно
большая (величина) — числовая функция
или последовательность, которая стремится
к бесконечности определённого знака.
Во всех приведённых ниже формулах
бесконечность справа от равенства
подразумевается определённого знака
(либо «плюс», либо «минус»). То есть,
например, функция xsin x, неограниченная
с обеих сторон, не является бесконечно
большой при x->+∞;
Последовательность an называется
бесконечно большой, если
;
Функция называется бесконечно большой
в окрестности точки x0,
если
;Функция
называется бесконечно большой на
бесконечности, если
или
.
Св-ва:
1)пр-ие
б.б.вел.на функцию, lim
кот.отличен от 0, есть вел.б.б; 2)сумма
б.б.величин и огранич.ф-ии есть вел.б.б.;
3)частное от деления б.б. на ф-ию,имеющую
lim,есть
вел.б.б. Отношение бесконечно малых
величин образует так называемую
неопределённость 0/0.
22. Основные теоремы о пределах.
1) если предел сущ-т, то он единственный; 2) если ф-я y=f(x) в некоторой окрестности точки x0 монотонно возрастает или убывает то она в этой точке имеет предел, если к тому же эта ф-ия ограничена сверху и снизу то этот предел конечный; 3) если в окр-ти т.x0 выполнено f(x) ≤h(x)≤g(x) и lim x->x0 f(x) = lim x->x0 g(x) = A и пределы этих ф-ий совпадают => lim x->x0 h(x)=A; 4) пусть limx->x0 f(x)=A<∞, lim x->x0 g(x)=B<∞, тогда lim x->x0 (f(x) ±g(x))=A±B и lim x->x0 [f(x)*g(x)]=A*B=>lim x->x0 (λ*f(x)= λlimf(x), λ=const.
23. Замечательные пределы
Первый
замечательный предел:
Второй
замечательный предел:
24. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке.
Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она удовлетворяет следующим трём условиям: определена в точке x0 (т.е. существует f(x0)); имеет конечный предел ф-ии при x->x0; этот предел = значению ф-ии в точке x0,т.е. lim x->x0 f(x)=f(x0). Определение непрерывности ф-ии lim x->x0 f(x) = f(x0) может быть записано и так: lim x->x0 f(x)=f(limx), т.е. для непрерывной ф-ии возможна перестановка символов предела и ф-ии. Св-ва ф-ий, непрерывных в точке: 1.)Если ф-ии f(x)и φ(x) непрерывны в точке x0, то их сумма, произведение и частное (при условии φ(x0) ≠0) явл. ф-ями, непрерывными в точке x0. 2) Если ф-ия y=f(x) непрерывна в точке x0 и f(x0)> 0, то сущ-ет такая окрестность точки x0, в кот. f(x)> 0. Если ф-ия y=f(u) непрерывна в точке u0, а ф-ия u= φ(x)непрерывна в точке u0= φ(x), то сложная ф-ия y=f[φ(x)] непрерывна в точке x0.