1. Матрицы. Виды матриц.

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Вектор-столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей n-ого порядка. Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нуль-матрицей.

2.Действия над матрицами.

1)Умножение матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую матрицу. Произведением матрицы А на число  называется матрица В, равная А, каждый элемент которой находится по формуле: b_ij = x a_ij. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле С_ij=a_ij+b_ij. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична сложению. Умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mxk на матрицу В размера kxn называется матрица С размера mxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В. 5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы А^m называется произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование: условий нет; транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной диагонали остаются на своих местах.

3 . Определители 1, 2, 3-го порядков

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент а11:

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Например, пусть

О пределителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по:

Э то число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

З наки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.Пример:

4. Свойства определителей.

1.) если строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее опре-ль = 0; 2.) если все элементы строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число; 3.) при транспонировании матрицы ее определитель не изменится; 4.) при перестановке 2х строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный; 5.) если матрица содержит 2 одинаковых строки, то ее опр-ль = 0; 6.) если элементы 2х строк матрицы пропорциональны, то ее определитель=0; 7.) сумма произведений элементов какой-либо строки матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки матрицы = 0; 8.) определитель матрицы не изменится если к элементам какой либо строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число; 9.) сумма произведений чисел b1, b2,…bn на алг.дополнение элементов любой строки = определителю матрицы, полученого из данной матрицы заменой элементов этой строки на числа b1, b2,…bn; 10.) опр-ль произведения 2х квадратных матриц = произведению их определителей. С = AB => |A|*|B|

5. Минор, алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа

Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается mij

т. Лапласа: Определитель любой квадратной матрицы = сумме произведений элементов любой строки или столбца, умноженное на их алгебраич.дополнения.

6.Обратная матрица. Алгоритм нахождения. Матричные уравнения.

Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы): обратная матрица А-1 сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда заданная матрица не вырожденная.Алгоритм вычисления обратной матрицы: 1)находим определитель исходной матрицы.если |А|не равно 0,то переходим к след. Этапу.2)Находим А^т; 3)Находим алгебраическое дополнение эл-ов А^т и составляем из них присоедин матр. 4)Вычисляем обратную матр; 5) проверка правильности. Уравнения: 1) A*x=B (*A^-1cлева) x= A^-1*B; 2) x*A=B (*A^-1 справа) x=B*A^-1; 3) A*X*B=C (*A^-1слева и *B^-1cправа) x= A^-1*C*B^-1 .