
- •3.1. Структурная схема системы
- •3.3. Метод определения характеристики переходного процесса
- •4. Устойчивость автоматических систем
- •4.1. Понятие устойчивости линейных систем
- •4.2. Косвенные методы оценки устойчивости
- •4.3. Понятие области устойчивости
- •4.4. Методы оценки переходных процессов
- •5. Передаточные функции элементов автоматических систем
- •5.1. Золотниковый гидрораспределитель
- •5.2. Пневматический клапан
- •5.3. Исполнительный элемент
- •5.4. Центробежный механизм
- •6. Динамика автоматизированного сцепления.
- •6.1. Структурная схема системы двигатель - автоматизированное сцепление и анализ ее устойчивости.
- •6.2. Динамика центробежных гидравлического и пневматического регуляторов давления
- •6.3. Динамика фрикционного сцепления
4.2. Косвенные методы оценки устойчивости
Алгебраические критерии устойчивости предложены Э.Раусом в 1877г. и А.Гурвицем в 1895г. С помощью этих критериев определяется соотношение между коэффициентами характеристического уравнения. Для рассмотрения обоих критериев возьмем характеристическое уравнение пятого порядка:
A0 s5 + A1s4 + A2s3 + A3s2 + A4s = 0 (4.5)
1) Критерий Гурвица. Из коэффициентов характеристического уравнения (4.5) составляют матрицу Гурвица следующего вида:
A1 |
A3 |
A5 |
0 |
0 |
A |
A2 |
A4 |
0 |
0 |
0 |
A1 |
A3 |
A5 |
0 |
0 |
A |
A2 |
A4 |
0 |
0 |
0 |
A1 |
A3 |
A5 |
Матрица составляется следующим образом:
1) Главная диагональ - из коэффициентов характеристического уравнения начиная с А1 до А5.
2) Строки - из коэффициентов этого уравнения: справа от главной диагонали - в порядке увеличения индекса через единицу; слева от главной диагонали в порядке уменьшения индексов. При этом коэффициенты с индексами, превышающими порядок характеристического уравнения и коэффициенты с отрицательными индексами заменяются нулями.
Для выполнения условия устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры (определители Гурвица) матрицы были положительны, то есть
|
|
|
A1 |
A3 |
|
|
|
A1 |
A3 |
A 5 |
|
|
|
|
|
A1 |
> |
0; |
|
|
|
> |
0; |
|
A0 |
A2 |
A4 |
> |
0; |
|
|
|
|
|
|
A0 |
A2 |
|
|
|
0 |
A1 |
A3 |
|
|
|
|
Тогда условия устойчивости можно сформулировать в виде:
а) Для уравнений первого и второго порядка – положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это условие также необходимо для уравнения любого высшего порядка.
б) Для уравнения третьего порядка:
(A1 A2 > A0 A3)
в) Для уравнения четвертого порядка:
( A1 A2 A3 > A0 A23 + A21 A4 )
г) Для уравнения пятого порядка:
( A1 A2 - A0 A3)( A3 A4 – A2 A5 ) > (A1 A4 – A0 A5 )2
2) Критерий Рауса. По этому критерию необходимо составить таблицу Рауса из коэффициентов характеристического уравнения при А0 > 0. Такая таблица для характеристического уравнения (4.5) будет иметь следующий вид.
Таблица заполняется следующим образом:
а) Первая и вторая строки - из коэффициентов с четными и с нечетными индексами, соответственно.
б) Остальные строки - из расчетных коэффициентов табл. 4.1.
в) Таблица заполняется до тех пор, пока при заданном уравнении не получится строка, содержащая значащий коэффициент, соответствующий свободному члену уравнения только в первом столбце.
Таблица 4.1
Коэффи -циент К |
№ строки |
№ столбца |
||
1 |
2 |
3 |
||
- |
1 |
A0 |
A2 |
A4 |
- |
2 |
A1 |
A3 |
A5 |
K13 = A0 / A1 |
3 |
C23 = A2 – K13 A3 |
C33 = A4 – K13 A5 |
C43 = 0 |
K14 = A1 / C23 |
4 |
C24 = A3 – K14 C33 |
C34= A5 - 0 |
C44 = 0 |
K15 = C23 / C24 |
5 |
C25 = C33 – K15 C34 |
C35 = 0 |
C45 = 0 |
K16 = C24 / C25 |
6 |
C26 = C34 = A5 |
C36 = 0 |
C46 = 0 |
Система устойчива, если все коэффициенты первого столбца были положительны, то есть
A0 > 0. A1 > 0. C23 > 0. C24 > 0. C25 > 0. C26 > 0.
3) Критерий устойчивости Михайлова. Этот частотный критерий устойчивости был введен в 1938г. А.В.Михайловым. Из существующих частотных методов этот метод получил наибольшее распространение. Анализ устойчивости системы сводится к построению по характеристическому уравнению характеристической кривой или годографа, по виду которого можно судить о состоянии системы с точки зрения устойчивости.
Годограф рассчитывается и строится следующим образом (рассмотрим пример для уравнения пятого порядка согласно уравнения (4.5):
а) Заменяем в данном уравнении комплексную переменную s на выражение (iw)
A0 (jw)5 + A1 (jw)4 + A2(jw)3 + A3 (jw)2 + A4 (jw) + A5 = 0.
б) Возводим члены (jw) полученного уравнения в соответствующие степени
A0 jw5 + A1 w4 - A2 jw3 – A3 w2 + A4 jw + A5 = 0.
в) Разделяем вещественные и мнимые части полученного многочлена и выписываем их отдельно друг от друга
Re(w) = A5 - A3 w2 + A1 w4 - вещественные части,
Jm(w) = A4 w – A2 w3 + A0 w5 - мнимые части.
г) Подсчитываем величины Re(w) и Jm(w) для каждого значения w от О до + бесконечности.
д) Строим годограф на комплексной плоскости, то есть кривую по расчетным величинам Re(w) и Jm(w) для соответствующих значений частот w1, w2, w3…. и так далее. Через полученные точки проводим кривую, которая и является годографом Михайлова. При этом удобно вначале находить точки пересечения годографа с осями координат. Для точек на вещественной оси принимаем Jm(w) = 0 откуда находят значения частот, которые затем подставляют в выражение для Re(w).
Полученные при этом значения Re(w). являются абсциссами точек пересечения годографа с вещественной осью. Затем для точек на мнимой оси принимаем Re(w) = 0, и далее аналогично.
Критерий Михайлова пригоден для анализа устойчивости систем любого порядка. На рисунке рис.4.2. показаны примеры трех годографов;
1 - для устойчивой системы, 2 и 3 - для неустойчивых систем.
Рис.4.2. Годографы Михайлова.
Автоматическая система устойчива, если годограф при изменении частоты и от 0 до + бесконечности:
а) начинается на положительной части вещественной оси:
б) обходит в направлении против часовой стрелки последовательно такое количество квадрантов комплексной плоскости, какова степень характеристического уравнения:
в) нигде не обращается в нуль.