4.2. Косвенные методы оценки устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости предложены Э.Раусом в 1877г. и А.Гурвицем в 1895г. С помощью этих критериев определяется соотношение между коэффициентами характеристического уравнения. Для рассмотрения обоих критериев возьмем характеристическое уравнение пятого порядка:

A₀ s⁵ + A₁s⁴ + A₂s³ + A₃s² + A₄s = 0 (4.5)

1) Критерий Гурвица. Из коэффициентов характеристического уравнения (4.5) составляют матрицу Гурвица следующего вида:

A1	A3	A5	0	0
A	A2	A4	0	0
0	A1	A3	A5	0
0	A	A2	A4	0
0	0	A1	A3	A5

Матрица составляется следующим образом:

1) Главная диагональ - из коэффициентов характеристического уравнения начиная с А₁ до А_5.

2) Строки - из коэффициентов этого уравнения: справа от главной диагонали - в порядке увеличения индекса через единицу; слева от главной диагонали в порядке уменьшения индексов. При этом коэффициенты с индексами, превышающими порядок характеристического уравнения и коэффициенты с отрицательными индексами заменяются нулями.

Для выполнения условия устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры (определители Гурвица) матрицы были положительны, то есть

A1

A3

A1

A3

A 5

A1

>

0;

>

0;

A0

A2

A4

>

0;

A0

A2

0

A1

A3

Тогда условия устойчивости можно сформулировать в виде:

а) Для уравнений первого и второго порядка – положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это условие также необходимо для уравнения любого высшего порядка.

б) Для уравнения третьего порядка:

(A₁ A₂ > A₀ A₃)

в) Для уравнения четвертого порядка:

( A₁ A₂ A₃ > A₀ A²₃ + A²₁ A₄ )

г) Для уравнения пятого порядка:

( A₁ A₂ - A₀ A₃)( A₃ A₄ – A₂ A₅ ) > (A₁ A₄ – A₀ A₅ )²

2) Критерий Рауса. По этому критерию необходимо составить таблицу Рауса из коэффициентов характеристического уравнения при А₀ > 0. Такая таблица для характеристического уравнения (4.5) будет иметь следующий вид.

Таблица заполняется следующим образом:

а) Первая и вторая строки - из коэффициентов с четными и с нечетными индексами, соответственно.

б) Остальные строки - из расчетных коэффициентов табл. 4.1.

в) Таблица заполняется до тех пор, пока при заданном уравнении не получится строка, содержащая значащий коэффициент, соответствующий свободному члену уравнения только в первом столбце.

Таблица 4.1

Коэффи -циент К	№ строки	№ столбца
		1	2	3
-	1	A0	A2	A4
-	2	A1	A3	A5
K13 = A0 / A1	3	C23 = A2 – K13 A3	C33 = A4 – K13 A5	C43 = 0
K14 = A1 / C23	4	C24 = A3 – K14 C33	C34= A5 - 0	C44 = 0
K15 = C23 / C24	5	C25 = C33 – K15 C34	C35 = 0	C45 = 0
K16 = C24 / C25	6	C26 = C34 = A5	C36 = 0	C46 = 0

Система устойчива, если все коэффициенты первого столбца были положительны, то есть

A₀ > 0. A₁ > 0. C₂₃ > 0. C₂₄ > 0. C₂₅ > 0. C₂₆ > 0.

3) Критерий устойчивости Михайлова. Этот частотный критерий устойчивости был введен в 1938г. А.В.Михайловым. Из существующих частотных методов этот метод получил наибольшее распространение. Анализ устойчивости системы сводится к построению по характеристическому уравнению характеристической кривой или годографа, по виду которого можно судить о состоянии системы с точки зрения устойчивости.

Годограф рассчитывается и строится следующим образом (рассмотрим пример для уравнения пятого порядка согласно уравнения (4.5):

а) Заменяем в данном уравнении комплексную переменную s на выражение (iw)

A₀ (jw)⁵ + A₁ (jw)⁴ + A₂(jw)³ + A₃ (jw)² + A₄ (jw) + A₅ = 0.

б) Возводим члены (jw) полученного уравнения в соответствующие степени

A₀ jw⁵ + A₁ w⁴ - A₂ jw³ – A₃ w² + A₄ jw + A₅ = 0.

в) Разделяем вещественные и мнимые части полученного многочлена и выписываем их отдельно друг от друга

Re(w) = A₅ - A₃ w² + A₁ w⁴ - вещественные части,

Jm(w) = A₄ w – A₂ w³ + A₀ w⁵ - мнимые части.

г) Подсчитываем величины Re(w) и Jm(w) для каждого значения w от О до + бесконечности.

д) Строим годограф на комплексной плоскости, то есть кривую по расчетным величинам Re(w) и Jm(w) для соответствующих значений частот w_1, w₂, w₃…. и так далее. Через полученные точки проводим кривую, которая и является годографом Михайлова. При этом удобно вначале находить точки пересечения годографа с осями координат. Для точек на вещественной оси принимаем Jm(w) = 0 откуда находят значения частот, которые затем подставляют в выражение для Re(w).

Полученные при этом значения Re(w). являются абсциссами точек пересечения годографа с вещественной осью. Затем для точек на мнимой оси принимаем Re(w) = 0, и далее аналогично.

Критерий Михайлова пригоден для анализа устойчивости систем любого порядка. На рисунке рис.4.2. показаны примеры трех годографов;

1 - для устойчивой системы, 2 и 3 - для неустойчивых систем.

Рис.4.2. Годографы Михайлова.

Автоматическая система устойчива, если годограф при изменении частоты и от 0 до + бесконечности:

а) начинается на положительной части вещественной оси:

б) обходит в направлении против часовой стрелки последовательно такое количество квадрантов комплексной плоскости, какова степень характеристического уравнения:

в) нигде не обращается в нуль.