Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
распределитель, пневмоклапан.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
2.87 Mб
Скачать

4.2. Косвенные методы оценки устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости предложены Э.Раусом в 1877г. и А.Гурвицем в 1895г. С помощью этих критериев определяется соотношение между коэффициентами характеристического уравнения. Для рассмотрения обоих критериев возьмем характеристическое уравнение пятого порядка:

A0 s5 + A1s4 + A2s3 + A3s2 + A4s = 0 (4.5)

1) Критерий Гурвица. Из коэффициентов характеристического уравнения (4.5) составляют матрицу Гурвица следующего вида:

A1

A3

A5

0

0

A

A2

A4

0

0

0

A1

A3

A5

0

0

A

A2

A4

0

0

0

A1

A3

A5

Матрица составляется следующим образом:

1) Главная диагональ - из коэффициентов характеристического уравнения начиная с А1 до А5.

2) Строки - из коэффициентов этого уравнения: справа от главной диагонали - в порядке увеличения индекса через единицу; слева от главной диагонали в порядке уменьшения индексов. При этом коэффициенты с индексами, превышающими порядок характеристического уравнения и коэффициенты с отрицательными индексами заменяются нулями.

Для выполнения условия устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры (определители Гурвица) матрицы были положительны, то есть

A1

A3

A1

A3

A 5

A1

>

0;

>

0;

A0

A2

A4

>

0;

A0

A2

0

A1

A3

Тогда условия устойчивости можно сформулировать в виде:

а) Для уравнений первого и второго порядка – положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это условие также необходимо для уравнения любого высшего порядка.

б) Для уравнения третьего порядка:

(A1 A2 > A0 A3)

в) Для уравнения четвертого порядка:

( A1 A2 A3 > A0 A23 + A21 A4 )

г) Для уравнения пятого порядка:

( A1 A2 - A0 A3)( A3 A4 – A2 A5 ) > (A1 A4 – A0 A5 )2

2) Критерий Рауса. По этому критерию необходимо составить таблицу Рауса из коэффициентов характеристического уравнения при А0 > 0. Такая таблица для характеристического уравнения (4.5) будет иметь следующий вид.

Таблица заполняется следующим образом:

а) Первая и вторая строки - из коэффициентов с четными и с нечетными индексами, соответственно.

б) Остальные строки - из расчетных коэффициентов табл. 4.1.

в) Таблица заполняется до тех пор, пока при заданном уравнении не получится строка, содержащая значащий коэффициент, соответствующий свободному члену уравнения только в первом столбце.

Таблица 4.1

Коэффи -циент

К

№ строки

№ столбца

1

2

3

-

1

A0

A2

A4

-

2

A1

A3

A5

K13 = A0 / A1

3

C23 = A2 – K13 A3

C33 = A4 – K13 A5

C43 = 0

K14 = A1 / C23

4

C24 = A3 – K14 C33

C34= A5 - 0

C44 = 0

K15 = C23 / C24

5

C25 = C33 – K15 C34

C35 = 0

C45 = 0

K16 = C24 / C25

6

C26 = C34 = A5

C36 = 0

C46 = 0

Система устойчива, если все коэффициенты первого столбца были положительны, то есть

A0 > 0. A1 > 0. C23 > 0. C24 > 0. C25 > 0. C26 > 0.

3) Критерий устойчивости Михайлова. Этот частотный критерий устойчивости был введен в 1938г. А.В.Михайловым. Из существующих частотных методов этот метод получил наибольшее распространение. Анализ устойчивости системы сводится к построению по характеристическому уравнению характеристической кривой или годографа, по виду которого можно судить о состоянии системы с точки зрения устойчивости.

Годограф рассчитывается и строится следующим образом (рассмотрим пример для уравнения пятого порядка согласно уравнения (4.5):

а) Заменяем в данном уравнении комплексную переменную s на выражение (iw)

A0 (jw)5 + A1 (jw)4 + A2(jw)3 + A3 (jw)2 + A4 (jw) + A5 = 0.

б) Возводим члены (jw) полученного уравнения в соответствующие степени

A0 jw5 + A1 w4 - A2 jw3 – A3 w2 + A4 jw + A5 = 0.

в) Разделяем вещественные и мнимые части полученного многочлена и выписываем их отдельно друг от друга

Re(w) = A5 - A3 w2 + A1 w4 - вещественные части,

Jm(w) = A4 w – A2 w3 + A0 w5 - мнимые части.

г) Подсчитываем величины Re(w) и Jm(w) для каждого значения w от О до + бесконечности.

д) Строим годограф на комплексной плоскости, то есть кривую по расчетным величинам Re(w) и Jm(w) для соответствующих значений частот w1, w2, w3…. и так далее. Через полученные точки проводим кривую, которая и является годографом Михайлова. При этом удобно вначале находить точки пересечения годографа с осями координат. Для точек на вещественной оси принимаем Jm(w) = 0 откуда находят значения частот, которые затем подставляют в выражение для Re(w).

Полученные при этом значения Re(w). являются абсциссами точек пересечения годографа с вещественной осью. Затем для точек на мнимой оси принимаем Re(w) = 0, и далее аналогично.

Критерий Михайлова пригоден для анализа устойчивости систем любого порядка. На рисунке рис.4.2. показаны примеры трех годографов;

1 - для устойчивой системы, 2 и 3 - для неустойчивых систем.

Рис.4.2. Годографы Михайлова.

Автоматическая система устойчива, если годограф при изменении частоты и от 0 до + бесконечности:

а) начинается на положительной части вещественной оси:

б) обходит в направлении против часовой стрелки последовательно такое количество квадрантов комплексной плоскости, какова степень характеристического уравнения:

в) нигде не обращается в нуль.