48. Наближені методи розв’язання задачі цілочислового лінійного програмування. Метод вектора спаду.

У загальному випадку цей метод дає змогу знаходити локальний мінімум цільової функції, проте, якщо вона має відповідні властивості опуклості, то він приводить до визначення глобального мінімуму.

Ідея методу полягає у визначенні компонент вектора спаду для деякої початкової точки. Якщо всі вони невід’ємні, то точку локального мінімуму знайдено, інакше знаходимо центр нового околу і перевіряємо його компоненти на невід’ємність. Процес пошуку розв’язку є послідовним перебором точок, що зменшують значення цільової функції.

Як правило, на кожному кроці алгоритму (тобто для кожного нового околу) не потрібно обчислювати всі компоненти вектора спаду, а лише частину з них, що дає істотний виграш в обсязі і тривалості обчислень.

Наведемо один з можливих алгоритмів реалізації методу вектора спаду.

1. Вибрати початкову точку Х₀ і радіус околу R так, щоб точка Х₀ була допустимим планом відповідної задачі цілочислового програмування а окіл був таким, що містить також інші допустимі плани задачі. Цей вибір може здійснюватись випадково з податковою перевіркою виконання зазначених умов.

2. Визначаються компоненти вектора спаду в вибраному околі. Якщо всі його компоненти невід’ємні, то точку локального мінімуму знайдено (тобто задача розв’язана і оптимальним цілочисловим планом є ).

3. Якщо не всі компоненти вектора спаду невід’ємні, то вибираємо компоненту яка має найменше значення і визначає точ­ку , що зменшує значення цільової функції і є центром нового околу.

4. Повертаємось до пункту 2. Процес продовжуємо, поки для деякого всі компоненти відповідного вектора спаду не будуть невід’ємними.

Якщо в нас ЦФ на мінімум ,то у цілих точках у нас повинні бути усі від’ємні значення,які ми отримуємо за цією формулою ; ,де точка х0-це середина радіусу. Якщо ж в нас є невід’ємні значення,то ми беремо за середину кола ту точку,значення якої найбільше.Але цю точку ми можемо взяти за середину,лише якщо вона буде відповідати обмеженням.

Для максимо робимо все теж саме,але навпаки.

49. Постановка задачі нелінійного програмування, математична модель. Геометрична інтерпретація.

Загальна задача математичного програмування формулюється так: знайти такі значення змінних x_j , щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального) значення.

за умов:

( );

.

Якщо всі функції та , є лінійними, то це задача лінійного програмування, інакше (якщо хоча б одна з функцій є нелінійною) маємо задачу нелінійного програмування.

Геометрично цільова функція (8.1) визначає деяку поверхню, а обмеження (8.2)-(8.3) – допустиму підмножину n-вимірного евклідового простору. Знаходження оптимального розв’язку задачі нелінійного програмування зводиться до відшукання точки з допустимої підмножини, в якій досягається поверхня найвищого (найнижчого) рівня.

Якщо цільова функція неперервна, а допустима множина розв’язків замкнена, непуста і обмежена, то глобальний максимум (мінімум) задачі існує.

Найпростішими для розв’язування є задачі нелінійного програмування, що містять систему лінійних обмежень та нелінійну цільову функцію. В цьому разі область допустимих розв’язків є опуклою, непустою, замкненою, тобто обмеженою.