22. Загальна постановка задачі лінійного програмування. Приклади економічних задач лінійного програмування. Навести відповідні формули.

Зада́ча ліні́йного програмува́ння — задача оптимізації з лінійною цільовою функцією та допустимою множиною обмеженою лінійними рівностями або нерівностями.

Загальна лінійна економіко-математична модель економічних процесів та явищ — так звана загальна задача лінійного програмування подається у вигляді: (2.1)

за умов:

(2.2)

(2.3)

Отже, потрібно знайти значення змінних x₁, x₂, …, x_n, які задовольняють умови (2.2) і (2.3), і цільова функція (2.1) набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Для довільної задачі математичного програмування у § 1.2 були введені поняття допустимого та оптимального планів.

Для загальної задачі лінійного програмування використовуються такі поняття.

Вектор Х = (х₁, х₂, …, х_n), координати якого задовольняють систему обмежень (2.2) та умови невід’ємності змінних (2.3), називається допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

Допустимий план Х = (х₁, х₂, …, х_n) називається опорним планом задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи (2.2) у вигляді рівностей, а також обмеження (2.3) щодо невід’ємності змінних.

Опорний план Х = (х₁, х₂, …, х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений.

Опорний план , за якого цільова функція (2.1) досягає масимального (чи мінімального) значення, називається оптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

Задачу (2.1)—(2.3) можна легко звести до канонічної форми, тобто до такого вигляду, коли в системі обмежень (2.2) всі b_i (i = 1, 2, …, m) невід’ємні, а всі обмеження є рівностями.

Якщо якесь b_i від’ємне, то, помноживши i-те обмеження на (– 1), дістанемо у правій частині відповідної рівності додатне значення. Коли i-те обмеження має вигляд нерівності а_i1х₁ + а_i2х₂ + … + а_inx_n ≤ b_i, то останню завжди можна звести до рівності, увівши додатковузміннуx_{n + 1}: a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + + a_in x_n + x_{n + 1} = b_i.

Аналогічно обмеження виду а_k1x₁ + a_k2x₂ + … + a_knx_n ≥ b_k зводять до рівності, віднімаючи від лівої частини додаткову змінну х_n + 2, тобто: a_k1x₁ + a_k2x₂ + … + a_knx_n – x_{n + 2} = b_k (х_n+1 ≥ 0, х_n+2 ≥ 0).

Доведемо, що заміна нерівностей рівняннями за допомогою введення додаткових змінних не змінить розв’язку початкової задачі. Розглянемо лінійну нерівність з n невідомими:

(2.4)

Для зведення нерівності (2.4) до рівняння необхідно до її лівої частини додати деяку невід’ємну величину х_{n + 1} ≥ 0. У результаті дістаємо лінійне рівняння, яке містить n+1 змінну:

a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n + x_{n + 1} = b. (2.5)

23. Форми запису задачі лінійного програмування, охарактеризувати їх. Навести відповідні формули.

Форми запису задач лінійного програмування:Задачу лінійного програмування зручно записувати за допомогою знака суми «». Справді, задачу (3.1)-(3.3) можна подати так:

за умов:

(3.4)

Ще компактнішим є запис задачі лінійного програмування у векторно-матричному вигляді:

max(min) Z = CX

за умов:

АХ = А₀; (3.5)

Х ≥ 0, де

є матрицею коефіцієнтів при змінних;

— вектор змінних; — вектор вільних членів;

С = (с₁, с₂, …, с_п) — вектор коефіцієнтів при змінних у цільовій функції.

Часто задачу лінійного програмування зручно записувати у векторній формі:

max(min)Z = CX

за умов:

A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_nx_n = A₀; (3.6)

X ≥0,

де

є векторами коефіцієнтів при змінних.