Тема 5. Елементи теорії границь

Мета роботи. Вивчення теми надасть студентам можливість зрозуміти поняття границі функції та опанувати методи обчислення границь функцій.

План вивчення теми

1. Границя послідовності.

2. Границя функції.

3. Нескінченно малі і нескінченно великі величини.

4. Види невизначеностей.

5. Обчислення границь функцій.

6. Перша і друга важливі границі.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Самостійно рекомендується вивчити поняття границі послідовності та границі функції, а також ознайомитись з поняттями нескінченно малих і нескінченно великих величин. Розглянути види невизначеностей та методи їх розкриття. Набути навички обчислення границь функцій та застосування першої і другої важливої границі.

Питання для самоконтролю

1. Що називається функцією? Навести приклади.

2. Що називається областю визначення та множиною значень функції?

3. Охарактеризувати основні способи задання функції.

4. Які функції називаються основними елементарними функціями?

5. Яка функція називається складеною ? Навести приклади.

6. Яка функція називається елементарною?

7. Що називається числовою послідовністю?

8. Що називається границею числової послідовності?

9. Що називається границею функції в точці?

10. Які функції називаються нескінченно малими?

11. Які функції називаються нескінченно великими?

12. Ознаки існування границі послідовності.

Література [1];[2] ; [3]; [4]; [5]

Тема 6. Диференціальне числення функції однієї змінної

Мета роботи. Вивчення теми надасть студентам можливість знати основи диференціального числення, здобути навички обчислення похідних функцій. Ознайомитись із економічним змістом похідної.

План вивчення теми

1. Елементарні функції.

2. Похідна функції.

3. Геометричний та економічний зміст похідної.

4. Похідні основних функцій.

5. Правила диференціювання.

6. Похідна складної, оберненої, заданої неявно функції.

7. Диференціал функції. Геометрична інтерпретація диференціала.

8. Основні теореми диференціального числення.

9. Обчислення границь за правилом Лопіталя.

10. Формули Тейлора і Маклорена.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Вивчити та законспектувати такі поняття, як елементарні функції, похідна функції, похідні основних функцій та правила диференціювання. Ознайомитись та набути практичних навичок обчислення похідної складної, оберненої та неявно заданої функції. Застосовувати правило Лопіталя для обчислення границь функцій.

Питання для самоконтролю

1. Дати означення похідної заданої функції.

2. Який геометричний, механічний та фізичний зміст похідної?

3. Як знайти похідну, виходячи з її означення?

4. Залежність між неперервністю функції та її диференційованістю.

5. Сформулювати правила диференціювання.

6. Похідна складної та оберненої функцій.

7. Логарифмічна похідна.

8. Похідні неявної та параметрично заданої функції.

9. Похідні вищих порядків.

10. Описати спосіб графічного диференціювання.

11. Як визначається кут між лініями?

12. Що називається диференціалом функції?

13. Який геометричний та механічний зміст диференціала?

14. Назвати властивості диференціала.

15. У чому полягає інваріантність форми диференціала?

16. Як визначається диференціал функції через її похідну?

17. Вивести правила диференціювання суми, різниці, добутку та частки двох функцій.

18. Вивести правила диференціювання складеної функції.

19. Вивести правило диференціювання оберненої функції.

20. Як диференціювати неявно задану функцію? Навести приклад.

21. Сформулювати теорему Ферма.

22. Сформулювати теорему Ролля.

23. Сформулювати теорему Лагранжа.

24. Сформулювати теорему Коші.

25. Записати формулу Маклорена.

26. Записати формулу Тєйлора.

27. Сформулювати правило Лопіталя.

Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]