План заняття

1. Різницеві рівняння.

2. Системи лінійних різницевих рівнянь.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Однорідні різницеві рівняння

Означення. Лінійним різницевим рівнянням -го порядку називається рівняння виду

, ,

де - сталі коефіцієнти.

Запишемо це різницеве рівняння в рівносильній формі:

, .

Число називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна подати в операторній формі:

,

, .

Якщо , різницеве рівняння називається однорідним, а якщо , різницеве рівняння називається неоднорідним. Для однозначного визначення розв’язку зазвичай задаються початкові умови

.

Означення. Розв’язком різницевого рівняння називається послідовність , підставлення якої в це рівняння перетворює його на тотожність.

Властивості однорідного різницевого рівняння :

1. Якщо різницеве рівняння має розв’язок , то воно має також розв’язок , .

2. Якщо різницеве рівняння має два розв’язки , , , то воно має також розв’язок .

Звідси випливає, що це різницеве рівняння має також розв’язок

, , , .

Означення. Розв'язок різницевого рівняння -го порядку

називається загальним, якщо завдяки вибору довільних сталих можна задовольнити початкові умови

, .

При цьому дана система рівнянь завжди має розв’язок відносно сталих .

Загальний метод розв’язування лінійних різницевих рівнянь зі сталими коефіцієнтами (метод Ейлера). Частинні розв’язки однорідного рівняння відшукуємо у вигляді

, , .

Число називається мультиплікатором розв’язку різницевого рівняння. Мультиплікатори визначаються із алгебраїчного рівняння

.

Це рівняння називається мультиплікаторним рівнянням.

Теорема. Якщо мультиплікаторне рівняння має різних коренів , то загальний розв’язок різницевого рівняння має вигляд:

, .

Розглянемо випадок кратних коренів мультиплікаторного рівняння.

Теорема. Якщо мультиплікаторне рівняння має кратні корені кратності відповідно ( ), то загальний розв’язок різницевого рівняння запишеться так:

, .

Неоднорідні різницеві рівняння зі спеціальною правою частиною

Розв’язування неоднорідного різницевого рівняння

,

завжди можна звести до підсумування відомих функцій, застосувавши метод варіації довільних сталих. Загальний розв’язок різницевого рівняння є сумою частинного розв’язку неоднорідного різницевого рівняння і загального розв’язку однорідного різницевого рівняння.

Найчастіше неоднорідне різницеве рівняння має спеціальну праву частину

, , ,

де - многочлен від степеня . Тоді має місце наступні теореми.

Теорема. Якщо , то неоднорідне різницеве рівняння має частинний розв’язок вигляду

, ,

де - деякий многочлен від степеня .

Теорема. Якщо і є коренем рівняння кратності , то різницеве рівняння має частинний розв’язок вигляду

, .

Многочлен від степеня можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Система лінійних різницевих рівнянь

Лінійне різницеве рівняння - го порядку завжди можна звести до системи лінійних різницевих рівнянь вигляду

Позначивши

, , ,

дістанемо систему різницевих рівнянь у векторній формі:

, .

Розв'язок однорідної системи різницевих рівнянь , можна дістати у вигляді

, , , ..., .

Частинні розв’язки однорідної системи різницевих рівнянь відшукаємо у вигляді

, .

Підставляючи у систему різницевих однорідних рівнянь, дістаємо рівняння

, .

Звідси випливає, що - власне число, - власний вектор матриці . Отже, має місце наступна теорема.

Теорема. Якщо матриця порядку має різних власних чисел , то загальний розв’язок системи різницевих рівнянь набирає вигляду

, де - довільні сталі.