Приклади
1. Нехай залежність витрат виробництва від обсягу виробляємої продукції виражається формулою:
грошових
одиниць. Визначити середні і граничні
витрати при обсязі продукції вартістю
грошових одиниць.
Розв'язок.
Функція середніх
витрат на
одиницю продукції визначається за
формулою
,
або в нашому випадку,
,
звідки
грошових одиниць.
Граничні витрати визначаються за формулою
,
отже
,
звідки
при
отримаємо
грошових одиниць.
Іншими словами, при середніх витратах на виробництво одиниці продукції в 15 г. о. додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції становлять 5 г. о. і не перевищують середніх витрат.
2. Нехай попит на товар визначається формулою
.
Знайти
еластичність попиту при ціні на товар
г. о.
Розв'язок. Відповідно до формули маємо:
=-1,5.
Це означає, що при збільшенні (зменшенні) ціни товару на 1% попит на нього зменшиться (збільшиться) на 1,5%.
3. Знайти зміну виручки із збільшенням ціни товару при різних варіантах еластичності попиту.
Розв'язок.
Виручка
дорівнює добутку ціни
товару на величину попиту
:
.
Знайдемо похідну цієї функції:
.
Проаналізуємо усі варіанти еластичності попиту, наведені раніше.
1. : тоді, підставляючи в нерівність, отримаємо, що права частина рівняння від’ємна. Таким чином, при еластичності попиту підвищення ціни приводить до зниження виручки. Навпаки, зниження ціни товару збільшує виручку.
2. : із рівності слідує, що права частина дорівнює нулю, тобто при нейтральному попиті зміна ціни товару не впливає на виручку.
3.
:
тоді
,
тобто при не еластичному попиті збільшення
ціни
товару приводить до збільшення виручки.
4.
Нехай залежність між собівартістю
продукції
і обсягом
її виробництва виражається формулою:
.
Необхідно
визначити еластичність собівартості
при випуску продукції
.
Розв'язок.
За формулою
отримаємо:
,
звідки при шукана еластичність складає приблизно -0,42, тобто збільшення даного обсягу випуску продукції на 1% призведе до зниження його собівартості приблизно на 0,42%.
Завдання
1.
Функція попиту має вигляд:
,
де
- відомі величини. Знайти, за яких значень
ціни попит буде еластичним.
2.
Залежність між собівартістю продукції
С
та об'ємом її виробництва задана
формулою:
.
Треба визначити еластичність собівартості
при Q
= 30 грош. од.
3. Нехай функції доходу і витрат відповідно мають вигляд:
;
.
Знайти максимальний прибуток.
4.
Нехай в короткотерміновому плані
виробнича функція залежить тільки від
кількості персоналу фірми та має вигляд:
,
де Q –
випуск продукції, L
– кількість працівників. Визначити
численність персоналу, за якої випуск
є максимальним.
Питання для самоконтролю
1. Поясніть економічний зміст похідної.
2. Наведіть приклади застосування похідної в економіці.
3. Поясніть , що таке граничні показники в економіці. Наведіть приклади.
4. Сформулюйте задачі на визначення оптимального розв'язку: максимум прибутку, оптимізація оподаткування і т. ін.