План заняття

1. Функція однієї змінної. Означення похідної.

2. Похідна елементарних функцій.

3. Диференціал. Геометричний зміст похідної і диференціала.

4. Похідна складної, оберненої та заданої неявно заданої функцій.

5. Правило Лопіталя для обчислення границь.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Означення. Нехай X і Y – деякі числові множини і нехай кожному елементу за деякому закону поставлено у відповідність лише один елемент . Тоді визначена функціональна залежність від за законом . При цьому називають незалежною змінною ( або аргументом), - залежною змінною, множина X – областю визначення (існування) функції, множина Y – областю значень (зміни) функції.

Задати функцію - означає, вказати закон визначення залежної змінної для кожного значення аргументу із області визначення функції.

Означення. Основними елементарними функціями називаються такі функції: степенева, показникові, логарифмічна, тригонометрична і обернені тригонометричні функції.

Означення. Елементарною функцією називається функція, яка утворюється за допомогою скінченої кількості арифметичних дій і суперпозицій основних елементарних функцій.

Означення. Похідною функції f(x) в точці х = х₀ називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує:

.

у

f(x)

f(x₀ +x) P

f

f(x₀) M

  x

0 x₀ x₀ + x x

Нехай f(x) визначена на деякому проміжку (a, b). Тоді тангенс кута нахилу січної МР до графіку функції.

,

де  - кут нахилу дотичної до графіку функції f(x) в точці (x₀, f(x₀)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих в будь-якій точці.

Рівняння дотичної до кривої:

Рівняння нормалі до кривої: .

Фізичний зміст похідної функції f(t), де t- час, а f(t)- закон руху (зміни координат) – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функції – швидкість зміни швидкості, тобто прискорення.

Односторонні похідні функції в точці

Означення. Правою (лівою) похідною функції f(x) в точці х = х₀ називається праве (ліве) значення границі відношення при умові, що це співвідношення існує.

Якщо функція f(x) має похідну в деякій х = х₀, то вона має в цій точці односторонні похідні. Однак, обернене твердження невірне. По-перше функція може мати розрив в точці х₀, а по-друге, навіть якщо функція неперервна в точці х₀, вона може бути в ній не диференційованою.

Наприклад: f(x)=x - має в точці х=0 і ліву і праву похідну, неперервна в цій точці, однак, не має в ній похідної.

Теорема. (Необхідна умова існування похідної). Якщо функція f(x) має похідну в точці х₀, то вона неперервна в цій точці.

Ця умова не є достатньою.

Основні правила диференціювання

Позначимо f(x) = u, g(x) = v- функції, диференційовані в точці х.

1) (u  v) = u  v ;

2) (uv) = uv + uv;

3) , якщо v  0 ;

Похідні основних елементарних функцій

1) С = 0;	9)
2) (xm) = mxm-1;	10)
3)	11)
4)	12)
5)	13)
6)	14)
7)	15)
8)	16)

Похідна складної функції

Теорема. Нехай y = f(x); u = g(x), причому область значень функції u входить в область визначення функції f.

Тоді .

Логарифмічне диференціювання

Розглянемо функцію .

Тоді (lnx)= , так як .

Враховуючи отриманий результат, можна записати:

.

Відношення називається логарифмічною похідною функції f(x).

Метод логарифмічного диференціювання полягає в тому, що спочатку знаходять логарифмічну похідну функції, а потім похідну самої функції за формулою:

.

Похідна показниково-степеневої функції

Функція називається показниковою, якщо незалежна змінна входить в показник степеня, і степеневою, якщо змінна є основою. Якщо ж і основа і показник степеня залежать від змінної, то така функція буде показноково-степеневою.

Нехай u=f(x) и v=g(x) – функції, які мають похідні в точці х, f(x)>0.

Знайдемо похідну функції y=u^v. Логарифмуючи, отримаємо:

lny = vlnu

Звідки отримаємо:

.

Похідна обернених функцій

Нехай необхідно знайти похідну функції у = f(x) за умови, що обернена їй функція x = g(y) має похідну, відмінну від нуля у відповідній точці.

Для рішення цієї задачі диференціюємо функцію по :

;

Так як g(y)  0 ;

,

тобто похідна оберненої функції обернена по величині похідної даній функції.

Наприклад. Знайти формулу для похідної функції arctg.

Функція arctg є функцією, оберненою до функції tg, тобто її похідна може бути знайдена наступним чином:

Відомо, що

По наведеній вище формулі отримаємо:

.

Так як то можна записати кінцеву формулу для похідної арктангенса:

.

Таким чином отримані всі формули для похідних арксинуса, арккосинуса і інших обернених функцій, наведених в таблиці похідних.

Диференціал функції

Нехай функція y= f(x) має похідну в точці х:

.

Тоді можна записати: , де 0, при х0.

Отже: .

Величина x - нескінченно мала більш високого порядку, ніж f(x)x, тобто f(x)x- головна частина приросту у.

Означення. Диференціалом функції f(x) в точці х називається головна лінійна частина приросту функції.

Позначається dy або df(x).

Із означення слідує, що dy = f(x)x або

dy = f(x)dx.

Можна також записати: .

Геометричний зміст диференціалу

y

f(x)

K

dy

M y

L



x x + x x

З трикутника MKL: = dy = tgx = yx.

Таким чином, диференціал функції f(x) в точці х дорівнює приросту ординати дотичної до графіка цієї функції в розглядаємій точці.

Властивості диференціала

Якщо u = f(x) і v = g(x)- функції, диференційовані в точці х, то безпосередньо із означення диференціала слідують наступні властивості:

1. d(u  v) = (u  v)dx = udx  vdx = du  dv

2. d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv

3. d(Cu) = Cdu

4. 

Диференціал складної функції

Інваріантна форма запису диференціалу

Нехай y = f(x), x = g(t), тобто у - складна функція.

Тоді dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.

Форма запису диференціала dy не залежить від того, чи буде х незалежною змінною або функцією будь-якої іншої змінної, у зв’язку з чим ця форма запису називається інваріантною формою запису диференціала.

Однак, якщо х - незалежна змінна, то dx = x, але якщо х залежить від t, то х  dx.

Таким чином, форма запису dy = f(x)x не є інваріантною.

Розкриття невизначеностей

Правило Лопіталя.

(Лопіталь (1661-1704) – французький математик)

До невизначеностей відносять наступні співвідношення:

.

Теорема (правило Лопіталя). Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в околі точки а, неперервні в точці а, g(x) відмінна від нуля в околі а і f(a) = g(a) = 0, то границя відношення функцій при ха дорівнює границі відношення їх похідних, якщо ця границя (скінчена або нескінченна) існує.

.

Наприклад. Знайти границю .

Як видно, при спробі безпосереднього обчислення границі отримаємо невизначеність виду . Функції, які входять в чисельник і знаменник дробу задовольняють вимогам теореми Лопіталя:

f(x) = 2x + ; g(x) = e^x;

.

Якщо при розв’язуванні прикладу після застосування правила Лопіталя спроба обчислити границю знову приводить до невизначеності, то правило Лопіталя може бути застосовано другий раз, третій і т.д. доки не буде отримано результату. Це можливо лише в тому випадку, коли знов отримані функції в свою чергу задовольняють вимогам теореми Лопіталя.

Наприклад. Знайти границю .

; ;

; ;

; ; .

Формула Маклорена

Одним із основних принципів математики є зображення складного через більш простіше. Формула Маклорена є реалізацією цього принципу. Будь-які функції, диференційовані достатню кількість разів в точці , можуть бути зображені у вигляді многочленів деякого степеня. Останні є більш простими елементарними функціями, над якими зручно виконувати арифметичні дії, обчислювати значення в будь-якій точці і т.д. Отже, функція , яка має похідну в точці , може бути зображена за формулою Маклорена разом із залишковим членом:

.

Ця формула дає можливість зобразити функцію у вигляді многочлена. Ця формула широко використовується для наближених обчислень значень різних функцій; при цьому похибка обчислень оцінюється по залишковому члену розкладення .