Приклади

1. Визначити сумісність системи лінійних рівнянь:

.

Розв’язок.

A =

~ . RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Система несумісна.

2. Визначити сумісність системи лінійних рівнянь

.

Розв’язок. А = ; = 2 + 12 = 14  0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система сумісна.

3. Розв’язати системи за формулами Крамера:

а) б)

а) Знаходимо визначники , _x, _y :

За формулами

б)

4. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса.

.

Запишемо розширену матрицю системи: А* =

Таким чином, початкова система може бути зображена у вигляді:

, звідки отримаємо: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

5. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса.

.

Розв’язок. Складемо розширену матрицю системи:

Таким чином, початкова система має бути зображена у вигляді:

, звідки отримаємо: z = 3; y = 2; x = 1.

Завдання

Розв’язати системи рівнянь методами Крамера і Гаусса:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7.

Питання для самоконтролю

1. Яка система лінійних рівнянь називається сумісною; несумісною; визначеною; невизначеною?

2. Записати формули Крамера. В якому випадку вони застосовуються?

3. Сформулювати теорему Кронекера-Капеллі.

Мета заняття. Вивчення теми 4 надасть студентам можливість знати елементи векторної алгебри, зокрема такі поняття, як вектори, базис, вміти виконувати дії з векторами, обчислювати скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Також ознайомитись з елементами аналітичної геометрії на площині, вивчити види рівнянь прямої на площині, умови паралельності і перпендикулярності прямих на площині, вміти визначати кут між двома прямими. Вивчення теми надасть студентам можливість знати види та канонічні рівняння ліній другого порядку на площині: коло, парабола, еліпс, гіпербола.

План заняття

1. Вектор, довжина вектора, властивості векторів.

2. Дії над векторами.

3. Поняття базису. Система координат.

4. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів.

5. Геометричне застосування добутків векторів.

6. Рівняння прямої на площині.

7. Кут між прямими на площині.

8. Відстань від точки до прямої на площині.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Елементи векторної алгебри

Означення. Вектором називається направлений відрізок (впорядкована пара точок). До векторів відноситься також і нульовий вектор, початок і кінець якого співпадають.

Означення. Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і кінцем вектора.

Означення. Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих. Нульовий вектор є колінеарним будь-якому вектору.

Означення. Вектори називаються компланарними, якщо існує площина, якій вони паралельні.

Колінеарні вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні.

Означення. Вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково направлені і мають одинакові модулі.

Всякі вектори можна привести до спільного початку, тобто побудувати вектори, відповідно рівні даним і які мають спільний початок. Із означення рівності векторів випливає, що будь-який вектор має нескінченно багато векторів, що дорівнюють йому.

Означення. Лінійними операціями над векторами називається сума і множення на число.

Сумою векторів є вектор -

Множення на число: , при цьому вектор є колінеарним .

Вектор сонаправлений з вектором (  ), якщо  > 0.

Вектор протилежно направлений з вектором (  ), якщо  < 0.

Властивості векторів

1) + = + - комутативність.

2) + ( + ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) () = ( ) – асоціативність

6) (+) =  +  - дистрибутивність

7) ( + ) =  + 

8) 1 =

Означення. 1) Базисом в просторі називаються будь-які 3 не компланарних вектора, які взяті у визначеному порядку.

2) Базисом на площині називаються будь-які 2 не колінеарні вектори, які взяті у визначеному порядку.

3) Базисом на прямій називається будь-який ненульовий вектор.

Означення. Якщо - базис в просторі і , то числа ,  і  - називаються компонентами або координатами вектора в цьому базисі.

Властивості:

• рівні вектори мають одинакові координати;

• при множення вектора на число його компоненти також множаться на це число:

= .

• при додаванні векторів додаються їх відповідні компоненти:

; ;

+ = .

Лінійна залежність векторів

Означення. Вектори називаються лінійно залежними, якщо існує така лінійна комбінація , при не рівних нулю одночасно _i, тобто .

Якщо ж лише при _i = 0 виконується , то вектори називаються лінійно незалежними.

Властивість 1. Якщо серед векторів є нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.

Властивість 2. Якщо до системи лінійно залежних векторів додати один або декілька векторів, то отримана система також буде лінійно залежна.

Властивість 3. Система векторів лінійно залежна тоді і лише тоді, коли один з векторів розкладається в лінійну комбінацію решти векторів.

Властивість 4. Будь-які 2 колінеарних вектора лінійно залежні і, навпаки, будь-які 2 лінійно залежні вектори колінеарні.

Властивість 5. Будь-які 3 компланарних вектора лінійно залежні і, навпаки, будь-які 3 лінійно залежні вектори компланарні.

Властивість 6. Будь-які 4 вектора лінійно залежні.