Тема 14. Ряди та їх застосування
Мета роботи. Знати поняття числових та функціональних рядів. Набути навички розкладання функції в степеневий ряд. Вміти досліджувати ряд на збіжність та застосовувати степеневі ряди для наближених обчислень.
План вивчення теми
Числові ряди.
Збіжні і розбіжні ряди. Необхідна ознака збіжності ряду.
Основні властивості рядів.
Геометричний, гармонічний, узагальнений гармонічний ряди.
Ряди з додатними членами. Теореми порівняння. Достатні признаки збіжності: Даламбера, Коші радикальний та інтегральний.
Ряди з додатними і від'ємними членами, знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність. Теорема Лейбниця.
Степеневі ряди. Радіус та інтервал збіжності степеневого ряду.
Властивість степеневого ряду: почленне диференціювання та інтегрування. Розкладання функцій в степеневі ряди.
Застосування степеневих рядів до наближених обчислень.
Методичні рекомендації до самостійної роботи
Вивчити теоретичні відомості, ознайомитись з поняттями числового та функціонального рядів, необхідними та достатніми ознаками збіжності знакододатних та знакозмінних рядів. Опанувати застосування степеневих рядів для наближених обчислень.
Питання для самоконтролю
Що називається числовим рядом? Що називається загальним членом ряду? Навести приклади.
Який ряд називається збіжним? Що називається його сумою? Який ряд називається розбіжним? Навести приклади.
Сформулювати та довести необхідну ознаку збіжності ряду. У чому полягає найпростіша достатня ознака розбіжності. Навести приклади.
Сформулювати та довести такі достатні ознаки збіжності: ознаки порівняння, граничну ознаку порівняння; ознаки Д’Аламбера і Коші; інтегральну ознаку Коші. Для яких рядів застосовані ці ознаки?
Сформулювати та довести ознаку Лейбниця. Для якого ряду застосована ця ознака?
Чому не можна досліджувати за ознакою Лейбниця на збіжність ряд
У чому полягає наслідок із ознаки Лейбниця?
Сформулювати та довести достатню ознаку збіжності знакозмінного ряду.
Дайте визначення степеневого ряду.
Сформулюйте теорему збіжності степеневого ряду (теорема Абеля)
Як знайти радіус збіжності степеневого ряду.
Які властивості степеневого ряду?
Теорема про єдиність розкладу функцій в степеневі ряди.
Запишіть формулу Маклорена.
Запишіть формулу Тейлора.
Розкладання елементарних функцій в ряди Маклорена.
Література [1];[2]; [3]; [4]; [5]
Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
Мета роботи. Вивчення теми надасть студентам можливість знати нарахування простих та складних відсотків, зрозуміти встановлення необхідної відсоткової ставки, вміти розраховувати номінальну ставку та ефективну ставку.
План вивчення теми
Прості і складні відсотки у фінансових розрахунках.
Необхідна відсоткова ставка , дисконтування, неперервні відсотки.
Еквівалентність простих і складних ставок відсотків.
Розрахунок номінальної ставки і ставки ефективності.