21. Фнч Баттерворта

Фильтр нижних частот Баттерворта обладает монотонной АЧХ, никогда не возрастающей с увеличением частоты, наиболее близкой к идеальной горизонтали на низких частотах (рис. 5.6). Частота среза ω_с фильтра Баттерворта определяется по относительному уровню A₁ = –3дБ (т.е. по уровню затухания 3дБ)

Рис. 5.6. ЛАЧХ ФНЧ Баттерворта: n – порядок фильтра; T_=₁ – _c – переходная область АЧХ

Для нормированного фильтра, т.е. при значении _c, равном 1 рад/cек, передаточную функцию ФНЧ Баттерворта можно записать в виде произведения сомножителей для n = 2, 4, 6...

,

или для n = 1, 3, 5... .

В обоих случаях коэффициенты задаются при b₀ = 1 и для k = 1, 2,... следующим образом:

.

АЧХ ФНЧ Баттерворта описывается следующим выражением: ,

где k – коэффициент усиления; n – порядок фильтра.

Увеличение порядка n ФНЧ приближает АЧХ к идеальной. Для низкочастотного диапазона АЧХ фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную АЧХ ФНЧ.

ЛАЧХ ФНЧ Баттерворта описывается функцией:

.

Для нормированной АЧХ k = 1, отсюда:

, , .

Найдем порядок n_тр ФНЧ Баттерворта, требуемый для реализации заданной АЧХ. Для этого необходимо выразить значение n из логарифмической частотной характеристики:

; ;

; ;

,

где – нормированная ширина переходной области АЧХ.

А.ч.х. фильтра Баттерворта наиболее плоская в районе частоты =0, по сравнению с а.ч.х. любого другого полиномиального фильтра. Вследствие этого ее называют максимально плоской. Следовательно, для диапазона низких частот (полосы пропускания) данный фильтр наилучшим образом отображает идеальную характеристику. Однако в полосе частот, находящихся около _с и в полосе задержания, а.ч.х. фильтра Баттерворта заметно уступает характеристике фильтра Чебышева.

22. Фнч Чебышева

ФНЧ Чебышева представляет собой оптимальный полиномиальный фильтр. он обеспечивает минимальную ширину переходной области АЧХ и превосходит в этом отношении фильтр Баттерворта. Фильтр Чебышева содержит колебания (пульсации) передаточной функции в полосе пропускания и обладает монотонной характеристикой в полосе задержания.

Рис. 5.7. ЛАЧХ ФНЧ Чебышева

АЧХ ФНЧ Чебышева описывается следующим выражением: ,

где ε и k – постоянные числа, С_n(x) – полином

Величиной ε определяется неравномерность коэффициента передачи в полосе пропускания (см. рис. 5.8):

.

а)	б)

Рис. 5.8. ЛАЧХ ФНЧ Чебышева: а) – нечетного порядка; б) – четного порядка.

Для нечетного n частота среза ω_с определяется по уровню затухания АЧХ α₁ дБ (или k раз), а для четного n – по уровню 0 дБ(или 1 раз) относительно коэффициента усиления на постоянном токе k.

ЛАЧХ ФНЧ Чебышева описывается функцией:

.

Для нормированной АЧХ (k = 1):

.

.

.

Для нахождения требуемого порядка n_тр ФНЧ Чебышева запишем:

;

.

Разделив второе уравнение системы на первое, извлекаем квадратный корень из правой и левой частей:

;

А.ч.х. достигает своего наибольшего значения , равного К в тех точках, в которых С_n = 0. Поскольку эти точки распределены в полосе пропускания, то характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации в полосе пропускания и монотонна в полосе задержания. Размах этих пульсаций определяет параметр , а их число - порядок фильтра n. Коэффициент усиления фильтра Чебышева определяется значением К.

Фильтр Чебышева часто называют равноволновым фильтром. Для К=1 размах пульсаций R_ составляет :

.

Размах пульсаций, или неравномерность в полосе пропускания выражается в децибелах (дБ) следующим образом :

.

Значение  используют как характеристику фильтра Чебышева.