21. Теорема Бернулли.

Пусть А – случайный исход некоторого экспериментов, P(A)=p – вероятность этого исхода. Предположим, что эксперимент повторяется n раз в неизменных условиях (т.е. вероятность Р(А)=р не изменяется при повторении экспериментов). Тогда относительная частота появление события А при n -> ∞ сходится по вероятности к р:

, или

где n – общее число исходов,

m – число благоприятных исходов,

p – вероятность появления случ. величины.

Док-во:

Пусть Причем , а .

Вычислим математическое ожидание случайной величины :

M[Xi] = 1*p + 0*q = p

И математическое ожидание их среднего арифметического:

Случайные величины , i=1…n по условию взаимно независимы, а их среднее арифметическое есть относительная частота появления события А в середине n экспериментов

Теорема Бернулли дает математическое обоснование экспериментальным результатам, в которых наблюдается устойчивость частот при увеличении числа экспериментов.

Устойчивость среднего арифметического можно объяснить тем, что случайное отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном результате, в массе однородных результатов взаимно поглощаются, нивелируются, выравниваются. Вследствие этого средний результат

ктически перестает быть случайным и может быть предсказан достаточно точно.

22. Теорема Чебышева и ее обобщение.

Если дисперсии n-независимых случайных величин (X1…Xn) ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Док-во:

По условию: M( )= … M( )=

По первому неравенству Чебышева получаем:

поскольку P>1, то:

Вывод: при достаточно больших n выполнение рассматриваемого неравенства является событием практически достоверным, а неравенства противоположного смысла практически невозможно.

Таким образом предел по вероятности следует понимать не как категорическое отверждение, а как утверждение, вероятность которого гарантируется с вероятностью близкой к 1 (при n->∞)

Таким образом, при большом числе случайных величин практически достоверно, что их средняя случайная величина как угодна мало отличается от неслучаной – среднего математического ожидания, т.е. перестает быть случайной.

Этим заключением обоснован выбор средней арифметической в качестве меры истинного значения мат. ожидания.

Практическое значение:

Пример: Необходимо установить размер страхового взноса, с условием что он(?) сделает выплаты при наступлении страхового случая. Замечание Если все измерения проводятся с одинаковой точностью и дисперсией ( ), то дисперсия их средней величины

Т.е. средний разброс случайной величины меньше разброса каждого измерения. Увеличивая число измерения можно уменьшить влияния случайных погрешностей (но не систематических)

23. Асимптотическое распределение среднего арифметического независимых случайных величин и относительной частоты.

Распределение среднего арифметического случайных величин.

Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием и дисперсией . Среднее арифметическое их:

]=nm/n=n

.

При n->∞ -> 0. Среднее арифметическое можно представить: , т.е. можно рассмотреть как сумму случайных величин. Тогда

– в силу центральной предельной теоремы

Распределение относительно частоты

Ћ = k/n – относительная частота появления события А, где k – число появлений события а в n испытаниях.

0,999 – (например) абсолютная частота

Ћ = k/n = X/n - число появлений события а в n испытаниях.

M[h] = M[X/n] = 1/n*np=p

D[h] = D[X/n] = 1/n²*D[X]= 1/n^2*npq=pq/n

Ћ = k/n = X/n = X1/n + … + Xn/n