
- •1.Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
- •2 Вероятность в дискретных пространствах элементарных событий.
- •3. Классическая схема равновероятных событий.
- •4 Теорема сложения и умножения вероятности.
- •5. Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •7.Повторение испытаний. Схема Бернулли. Биномиальное распределение. Формула Пуассона
- •10.Вероятность в непрерывных пространствах элементарных событий и ее свойства. Геометрические вероятности
- •13. Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Механическая интерпретация. Условные распределения.
- •14.Мат. Ожидание и дисперсия суммы случайных величин. Мат ожидание произведения случайных величин.
- •15.Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелированность и независимость случ. Величин.
- •18.Функции случайных величин. Вычисление мат ожиданий. Нахождение закона распределения для функции одной случайной величины, в случае дискретной и непрерывной случайной величин
- •21. Теорема Бернулли.
- •22. Теорема Чебышева и ее обобщение.
- •23. Асимптотическое распределение среднего арифметического независимых случайных величин и относительной частоты.
- •17. Предмет мат статистики. Основные понятия: выборка, генеральная совокупность, статистики Распределение выборки, выборочные моменты.
- •18. Задача статистического оценивания. Несмещенность и состоятельность оценок, эффективность оценок.
- •19. Метод моментов. Несмещенная оценка дисперсии
- •20. Распр. Хи-квадрат, Стьюдента, Фишера. Их определ. Свойства. Применение при нахождении доверительных интервалов и при проверке стат.Гипотез.
- •22.Доверит. Интервал для среднего и разности средних
- •23.Проверка стат.Гипотез. Классиф. Критерий. Стат.Крит. Ур-нь значимости. Крит.Обл. Ошибки 1 и 2 рода.
- •24.Проверка гипотез о равенстве дисперсий и средних.
- •25. Регрессионный анализ. Оценки параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.
- •26. Анализ значимости и адекватности регрессионной модели.
18.Функции случайных величин. Вычисление мат ожиданий. Нахождение закона распределения для функции одной случайной величины, в случае дискретной и непрерывной случайной величин
Сиреневый учебник по кот ДЗ делали стр119
Функции дискретных случайных величин
Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайногвеличины Х
y=φ(x)
X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Пример:
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
P |
0.1 |
0.15 |
0.3 |
0.05 |
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
-8 |
-1 |
0 |
1 |
8 |
P |
0.1 |
0.15 |
0.3 |
0.05 |
0.4 |
y |
0 |
1 |
4 |
P |
0.3 |
0.2 |
0.5 |
Функции непрерывных случайных величинаний. M{}
y=φ(x) – непрерывная дифференцируемая монотонная ф-ция
1.Монотонно возрастает (Лекции 13 рисунок)
{y<Y}равносильно{x<X}
{x<X}:
Fx(x)=P(x<X)=
-
ф-ция распределения
P(y<Y)=Gy(y)-ф-ция распределения
g(y)=
2.Монотонно убывает
X>x
P(y>Y)=Gy(y)
g(y)=
Функция плотности вероятности для функции случайной величины
y=φ(x)
g(y)=
Математическое ожидание
y=φ(x)
1. Пусть X- дискрет случ. вел, тогда yn= φ(xn)
2.Пусть X –непрер. Случ. вел
Для вычисления числовых характеристик неслучайной ф-ции случайной величины не надо знать закона распределения зависящей от X случайной величины Y, а достаточно знать закон распределения случайного аргумента X.
19. Функции нескольких случайных величин. Вычисление мат ожиданий и дисперсий для суммы случайных величин.
Математическое ожидание
Дисперсия
Св-ва мат. ожидания и дисперсии:
M[X+Y] = M[X] + M[Y]
M[X*Y] = M[X] * M[Y]
D[X+Y] = D[X] + D[Y]
Коэффициент ковариации
Св-ва мат. ожидания и дисперсии:
Если X и Y независимы, то Cov(X,Y) = 0 (обратное неверно!)
Cov(aX,bY) = ab*Cov(X,Y), где a и b – константы
Cov(X,Y)
Коэффициент корреляции
Св-ва мат. ожидания и дисперсии:
|ρ(X,Y)| ≤ 1, этот результат следует из свойства 3 для ковариации случайных величин X и Y.
Если Х и Y – независимые случайные величины, то ρ(X,Y) = 0 (по свойству 1 для ковариации)
Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: Y=aX + b, где a и b – константы, а ≠ 0, то |ρ(X,Y)| = 1
20. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра-Лапласа. Асимптотическое распределение среднего арифметического случайных величин.
Центральная предельная теорема. Одна из формулировок: Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m и дисперсией σ2. Рассмотрим величину X=X1+…+Xn, при n->∞ функция распределения случайной величины
имеет нормальное распределение N(0,1) и равномерно по х сходится к функции распределения стандартного нормального закона Φ(х), где
Формулировка Ляпунова Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m и дисперсией σ2.
Следствия ЦПТ.
Распределение среднего арифметического случайных величин.
Пусть X1…Xn…
- независимые и одинаково распределенные
случайные величины с мат.ожиданием
и дисперсией
.
Среднее арифметическое их:
]=nm/n=n
.
При n->∞
->
0. Среднее арифметическое можно
представить:
,
т.е. можно рассмотреть как сумму случайных
величин. Тогда
– в силу центральной предельной теоремы
Теорема Муавра-Лапласа.
Пусть Х – случайная величина, имеющая биномиальное распределение. (q=1-p; n испытаний)
Х – число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли
Х=0…n
Введем величину
Причем
M[Xi]=1*p+0*q=p
D[Xi]=M[Xi2]-p2=p-p2=p(1-p)=pq
X = X1 + … + Xn (они все независимы и имеют одинаковое распределение)
M[X] = M[X1 + … + Xn] = M[X1] + … + M[Xn] = np
D[X] = D[X1 + … + Xn] = D[X1] + … + D[Xn] = npq
Следовательно:
X
Теорема Муавра-Лапласа позволяет количественно оценить разброс события А в некотором эксперименте, который может повторятся n раз в неизменных условиях. Приблизительное значение p равно значению наблюдаемой относительной частоты появления события А в n экспериментах, причем, чем больше n тем выше относительная точность этого результата.