14.Мат. Ожидание и дисперсия суммы случайных величин. Мат ожидание произведения случайных величин.

M[X]=m_x= M[Y]=m_y=

(M[X], M[Y])-центр распределения.

Пусть X и Y - случ. вел. С конечными мат. ожиданиями. Мат. ожидание их суммы равно сумме их мат. ожиданий.

M[X+Y]=

M[X]+M[Y]

Пусть X и Y- взаимно независимые случ. вел с конечными мат. ожиданиями. Мат ожидание произведения XY равно произведению их мат. ожиданий.

M[XY]= =M[X]*M[Y]. Это правило распространяется на любое конечное число взаимно независимых случ. величин. Заметим, то последнее равенство для зависимых случ. величин, вообще говоря, е выполняется.

Пусть X и Y- случ. Вел с совместным распределением, задаваемым таблицей (1). Условное мат. ожидание случ. dел. X при условии, что Y принимает заданное значение

Y = yj, вычисляется по формуле: M[X/Y=yj]= >0

Дисперсия суммы случайных величин:

D[X+Y] z=X+Y =>

D[z]=M[(z-m_z)²], а m_z=m_x+m_y

D[z]= M[((X-m_x)+(Y-m_y))²]= M[(X-m_x)²]+2 M[(X-m_x)(Y-m_y)]+ M[(Y-m_y)²]=D[X]+2cov(X,Y)+D[Y]

Таким образом:

D[X±Y]=D[X]+D[Y]±2cov(X,Y)

Если X и Y независимые, то cov(X,Y)=0 => D[X±Y]=D[X]+D[Y]

Рассмотрим

D[aX±bY]=a²D[X]+b²D[Y]±2abcov(X,Y)

15.Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелированность и независимость случ. Величин.

В качестве меры линейной зависимости между случ. величинами X и Y используют коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле

Св-ва коэфиициента корреляции:

1.

Док-во: рассмотрим систему 2-ух случ. вел: (X,Y) Проведем нормировку (стандартизацию), т.е.

M[X]= m_x D[X]=σ_x² X^x_{нормиров}= Нормированная величина – это тогда, когда

M[Y]=m_y D[Y]= σ_y² Y^y_{нормиров}= m_ч=0, а σ_x=1

Cov(X^x,Y^y)=M[{ }]*M[{ }]=

2. Если X и Y – незав. случ. вел, то , причем обратное неверно

3.Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: Y=aX+b, где a,b – const , a≠0,то

Док-во:

Т.к M[Y]=aM[X]+b=am_x+b, то имеем cov(X,Y)=M[(X-m_x)*(Y-m_y)]=M[(X-m_x)(aX+b-am_x-b)]=M[(X-m_x)a(X-m_x)]=aD[X]

Вычислим дисперсию случ. вел. Y=aX+b D[Y]=D[aX+b]=a²D[X]

Таким образом, коэффициент корреляции равен:

Следовательно, =1, если a>1 и

=-1, если a<0

Т.е коэффициент корреляции является показателем линейной зависимости, но если ρ_xy=0. это не значит,что между ними нет никакой связи, это значит, что нет линейной зависимости.

Если коэффициент корреляции между случ. вел. X и Y равен 0, то говорят, что X и Y некоррелированны.

Некоррелированность случ. вел X и Y означает только, что между ними нет линейной зависимости и не означает статистическую независимость случ. вел X и Y.

16.Системы 2-ух непрерывных случ. вел. Определение ф=ции распределения и плотности, условные распределения, зависимость и независимость случ. вел. Числовые характеристики.

Пусть на вероятностном пр-ве (Ω,F,P) заданы непрерывные случ. вел X1=X1(ω), X2=X2(ω),.., Xn=Xn(ω), ω Ω.

Опр Совместной ф-цией распределения F(x₁, x₂,…, x_n) случ. вел X1,X2,..,Xn наз-ся вероятность события [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn]: F(x₁, x₂,…, x_n) =P [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn]

Фукция распределения:

F(X,Y)=P[X<x,Y<y]

Если пользоваться геом. интерпретацией системы образом случ. точки, то ф-ция распред. есть не что иное, как вер-ть попадания случ точки (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (x,y), лежащий левее и ниже ее .(Лекция 12, рис)

()ки, то ф-ция распред. Е000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

1.Ф-ция распред. Есть неубывающая ф-ция обоих своих аргументов,т.е

При x2>x1, F(x2,y)≥ F(x1,y)

При y2>y1 F(x,y2) ≥F(x,y1)

2.Повсюду на -∞ ф-ция распред. равна нулю:

F(x,-∞)= F(-∞,y)= F(-∞,-∞)=0

3. F(x,+∞)=F1(x1(): распред. я обоих своих аргументов,т.е000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000), F(+∞,y)=F2(y)

4. F(+∞,+∞)=1

2()0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Неотрицательная ф-ция n переменных f(x₁, x₂,…, x_n) наз-ся совместной плотностью распределения случ. величин X1,X2,..,Xn , если их совместная ф-ция распределения может быть представлена в виде F(x₁, x₂,…, x_n) = Геометрически функцию f(x,y) можно изобразить некоторой поверхностью – поверхность распределения. Если пересечь поверхность распред. Плоскостью, перелелльной плоскости XOY, и спроектировать полученное сечение на плоскость XOY, получится кривая, в каждой точке которой плотность расред. постоянна. угольника \ольник и площади прямоугольника \спределения и плоскостью Чщ000000000000000000000000000000000000

Плотность распределения имеет след. св-ва:

1. f(x₁, x₂,…, x_n) ≥; (это ясно из того, что плотность распред. есть предел отношения двух неотриц. величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника)

2. =1; (геометрически это cв-во означает ,что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью XOY равен едицице.)

3.Если ф-ция определена, вектор попадет в некоторую область,тогда вер-ть определяется: P[(x1,x2,..,xn) G]= (геометрически вер-ть попадания в область G изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распред и опирающегося на область G.

Зная совместную плотность распределения f(x₁, x₂,…, x_n) случ. вел X1,X2,..,Xn можно найти плотность распред. каждой случ. вел. Для двумерного вектора (X1,X2) с плотностью f(x₁, x₂) распределение случ. вел X1, f₁(x₁) равна f₁(x₁) = , а плотность распред. случ. вел. X2, f₂(x₂) равна f₂(x₂) =

Опр Случ. величины X1,X2,..,Xn наз-ся независимыми, если для любых действительных переменных x₁, x₂,…, x_n, F(x₁, x₂,…, x_n) =F1(x₁)* F2(x₂)*…* Fn(x_n), где Fi(x_i)-ф-ция распред. случ. вел Xi, i=1,2..,n

Равносильное определение независимости случайных величин X1,X2,..,Xn записывается так f(x₁, x₂,…, x_n) =f₁(x₁)* f₂(x₂)*…* f_n(x_n), где f_i(x_i)-плотность распред. случ вел. Xi, i=1,2..,n

f₁(x)=

f₂(y)=

X и Y независимы, если = f₁(x)* f₂(y)

X и Y независимы, если f(X/Y)= f₁(x); f(Y/X)= f₂(y)

Условные плотности распределения.

Распределение Y, если X принимает какое-либо значение f(Y/X)

Распределение X, если Y принимает какое-либо значение f(X/Y)

Условная ф-ция и распределения.

Распред. X, при условии Y=y

f(X/y)= f(Y/x)=

Числовые характеристики:

1. Мат ожидание:

M[X]=m_x=

т. ожиданий. M{}000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

M[Y]=m_y т. ожиданий. M{}000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000= т. ожиданий. M{}000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

т. ожиданий. M{}000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

2.Дисперсия

Св-ва:

M[X+Y]=M[X]+M[Y]

M[X*Y]=M[X]*M[Y], если X и Y независимые

D[X+Y]]=D[X]+D[Y], если X и Y независимые

3.Ковариация

4.Коэффициент корреляции

(Св-ва ковариации билет 13, св-ва корреляции билет 17.Нормальный закон на плоскости.

Двумерное нормальное распределение –это распределение системы двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y), определяемой формулой.

Плотность распределения случ. вел X, f₁(x), вычисляется интегрированием f(x,y) по y:

Аналогично вычисляется плотность распред случ вел Y,f₂(y):

Формула (1) показывает,что в случае двумерного нормального распределения с плотностью (1) компоненты X и Y имеют нормальное распред, причем M[X]=m₁, D[X]=σ₁², M[Y]= m₂, D[Y]=σ₂²

Ковариация X и Y равна

cov(X,Y)=M[(X-m₁)(Y-m₂)]= Отсюда следует,что параметр ρ в (1) есть коэффициент корреляции

Св-ва:

1.Если (X,Y) имеет норм. распред.:

Каждая компоненты этого распределения также имеет нормал. распределение

2. Если ρ=0 => f(x,y)= * => X и Y – независимые

3.Условная плотность распределения:

f(X/y) и f(Y/x) – нормальные плотности

Геометрически плотность f(x,y) двуменого нормального распределения (1) представляет «холмообразную » поверхность. Проекция вершины холма на плоскость xOy имеет координаты (m₁, m₂) Эта точка называется центром рассеивания.

Сечение поверхности Z=f(x,y) плоскостями , параллельными плоскости xOy, есть кривые, определяемые ур-нием:

, где λ – const. Проекциями этих кривых на плоскость xOyбудут эллипсы. Т.к. плотность f(x,y) имеет на этих кривых постоянное значение, то соответствующие эллипмсы наз. эллипсами равных вероятностей

Эллипсы равных вероятностей имеют общий центр – центр рассеивания с координатами(m₁, m₂) и общие оси симметрии (они наз главными осями ξ и η)