13. Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Механическая интерпретация. Условные распределения.

Рассмотрим две случайные величины X и Y, определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве (Ω,F,P). Обозначим значения, кот. принимает случ. величина Х через х1, х2, …, хn, а значения случ. величины Y через y1,y2,…,yn. Распределение вероятностей X и Y обозначим соответственно p_х1, p_х2, …, p_хn и p_y1, p_y2, …, p_yn. Вер-ть события, состоящего в том, что Х=хi и Y=yj, обозначим как P[X=xi; Y=yj]=p_ij.

Опр Система равенств P[X=xi; Y=yj]=p_ij, p_ij>0, , p_ij=1, i=1,2, .., n, j=1,2,..,m определяет совместное распределение дискретных случайных величин X и Y или системы 2-ух дискр. случ. величин (X,Y).

Распределение системы 2-ух дискр. случ. вел. (X,Y) записывают в виде таблицы распределения.

Таблица (1)

Суммируя вер-ти p_ij по строкам, получим рапределение случ. вел X: , i=1,2, .., n, суммирование вер-тей p_ij по столбцам дает распределение случ. вел. Y: , j=1,2,..,m. Аналогично определяется распределение системы более чем 2-ух случ. вел.

Условные распределения: Условная вер-ть события Х=хi при условии, что Y=yj (p_yi>0) определяется формулой (1). Система равенств (1) при , i=1,2, .., n задает условное распределение случ. вел. X при условии,что случ. вел Y принимает заданное значение Y= yj.

Опр Определение независимости случ. величин. Пусть таблица (1) суть таблица распределения случ. вел X и Y. Случ. вел-ны X и Y наз. независимыми, если события X=xi и Y=yj независимы для всех i и j таких, что 1≤i≤n, 1≤j≤m, т.е. или p_ij= .(если это условие не выполняется , то величины зависимые) Если X и Y независимые случ. вел., то таблица распределения (1) имеет вид таблицы умножения. Аналогично определяется взаимная независимость более чем 2-ух случ. вел. Для независ. случ. вел. Условные вер-ти равны безусловным вер-тям = ,

Опр Случайные величины X1, X2,..,Xn определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве наз. взаимно независимыми, если для любой комбинации значений x_i1, x_i2, .., x_in. .

Опр Пусть случ. величины X и Yимеют конечные дисперсии. Ковариацией X и Y наз.. математическое ожидание произведения центрированных случ. величин (X-m_x) и (Y-m_y):

cov(X,Y)=M[(X-m_x)(Y-m_y)]= M[XY]-m_xM[Y]-m_xM[X]+m_xm_y=M[XY]-m_xm_y (Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания)

Св-ва cov:

1.Если X и Y независимые случ. вел, то cov(X,Y)=0, обратное же неверное, т.е. если cov(X,Y)=0, это не значит,что величины независимы.

2.cov(aX,aY)=abcov(X,Y), где a и b – константы

3.cov(X,Y)≤

Это неравенство явл. следствием неравенства Коши-Буняковского: (M[XY])²≤M[X²]*M[Y²] (1).

Док-во нер-ва (1):

Рассмотрим очевидное неравенство M[(aX+Y)²] ≥0, где а-любое действительное число, а≠0. Преобразуем левую часть этого неравенства, используя св-ва мат. ожиданий

M[(aX+Y)²]=M[a²X²+2aXY+Y²]=a²M[X²]+2aM[XY]+M[Y²]≥0 Т. К. Полученный относительно a трехчлен принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант будет меньше или равен нулю: 4(M[XY])²-4M[X²] *M[Y²]≤0 Отсюда следует неравенство (M[XY])²≤M[X²]*M[Y²]. Заменим X на (X-m_x), а Y на (Y-m_y), получим: (M[(X-m_x)(Y-m_y)])²≤M[(X-m_x)²]*M[(Y-m_y)²] или (cov(X,Y))²≤D[X]*D[Y]

Механическая интерпретация.

n-мерные случ. величины

(x1, x2,..,xn)- n-мерный случ. вектор

(x1, x2,..,xn)=

M[ ]=(M[x1],…, M[xn]), т.е мат. ожидание вектора равняется вектору мат. ожиданий.

Cov(Xi;Yj)=M[(Xi-m_xi)(Yj-m_yj)], j,i=1,..,n

-ковариационная матрица (симметрична)

-корреляционная матрица(симметрична)

D[x1+x2+x3]=D[x1]+D[x2]+D[x3]+2cov(x1,x2)+2cov(x2,x3)+2cov(x1,x3)