6.4. Імовірний характер діючих на колію сил та внутрішніх зусиль, що виникають в її елементах

Із попереднього очевидно, що залізнична колія знаходиться під зпливом великої кількості змінних силових факторів, які по-різному впли­вають на кожний даний перетин колії.

Сили взаємодії колії і рухомого складу мають випадковий характер. Це викликано як випадковою розбіжністю значень механічних параметрів для різноманітних перетинів колії і коліс екіпажів, так і випадковими ко­ливаннями екіпажів під час їхнього руху по колії. У процесі руху рухомо­го складу може відбуватися перерозподіл навантажень по осях, а також поколісний перерозподіл навантажень. Відхилення величин колісних на­вантажень від свого номінального значення можуть доходити до істотних значень, що вимірюються десятками відсотків.

Таким чином, в одному і тому ж перетині колії вплив здавалося б однотипних коліс однотипного рухомого складу може створювати різно­манітний рівень напруженого стану.

При розрахунках міцності колії необхідна вимога повинна полягати в тому, щоб колія в будь-якому її перетині в будь-який час була міцна. Для нього необхідно, щоб в будь-якому перетині колії в будь-який час, напру­ження, що виникають у різноманітних елементах колії, не переважали б тих, що допускаються, тобто повинна забезпечуватися умова міцності ?г.йсн. < [&]■ Очевидно, що вірогідний характер діючих на колію сил (у ме­жах від Р_тіп до Р_тах) буде викликати в елементах колії вірогідні внутрішні зусилля - напруження від а_тіп до <т_тах. Задача розрахунку колії на міцність, виходячи з умови забезпечення міцності, зводиться до відшукання макси-чаїьного імовірного силового впливу Р££ і відповідних йому максималь­но імовірних величин напружень в елементах колії сг^ і порівняння останніх зі значеннями напружень що допускаються [а]. Щоб краще зро-зуміти, як визначається вірогідне значення тієї чи іншої величини, необ­хідно звернутися до деяких положень теорії імовірностей.

Розглянемо імовірність того або іншого значення випадкової вели­чини а при появі цієї величини N раз. При цьому випадковою величиною, до інакше називається вірогідна статистична, можуть бути: сила, напру­ження чи будь-яка інша характеристика. Нехай виявилося, що всі спосте­режені значення сгмістяться в діапазоні від <у_тіп до а_тах (див. рис.6.4).

«У

Поділимо весь означений діапазон на низку рівних інтервалів (роз­рядів) величиною Лет, що називається кроком інтервалу.

Кількість дій N1, виявлених у межах і-то інтервалу,, називається час­тотою в цьому інтервалі; частота інтервалу ІУ), віднесена до повної кіль­кості дій, називається відносною часткою дій даного інтервалу в загальній кількості дій:

N.

ф,=^ (6.1)

При достатньо великій кількості дій N відносну частку Ф, називають імовірністю.

Імовірність, віднесена до одиниці ширини інтервалу, називається щільністю імовірностей Щ:

(6.2)

Асу

Якщо по вертикалі на кожному інтервалі відкласти відповідні вели­чини Щ, то отримаємо графік щільності ймовірностей по інтервалах, що називається гістограмою щільності ймовірностей (рис. 6.4, а).

Площа а>і кожного з прямокутників гістограми рівна імовірності Ф_г. Гправді, з графіку видно, що

щ = Щ Аа (6.3)

- ] виразу (6.2) слідує, що Щ ■ Аа = Ф, отже

(6.4)

Очевидно, що щільність всієї гістограми £2 (тобто її площа) дорівнює 1. І справді отримуємо:

/2 = Х^=І^-І§ = ^ІЛ^=^ = / (6.5)

NN N

При безперервній зміні щільності імовірностей замість гістограми 5уде мати місце крива щільності ймовірностей, інакше крива, що назива--гться диференційною кривою розподілу випадкової величини, (рис. 6.4, б).

Для графіка щільності ймовірностей дійсні наступні співвідношення

І стах

сіа> = сіФ; сіФ = Щ ■ йа; П = \сіФ = \\У с!а = 1 (6.6)

0 стіп

Якщо прийняти наступні положення, яким повинна задовольняти «грива розподілу:

1. чим більша кількість випадків N зареєстрована, тим більша кіль­кість ТУ; падає на кожний г'-ий інтервал:

2. чим ширше розглядуваний інтервал, тим більша кількість випад­ків Мі падає на нього;

3. чим більше кожне конкретне значення а відхиляється від свого середнього значення ст, тим рідше воно зустрічається;

1. відхилення від середнього значення рівноймовірні в той і інший

бік.

Тоді рівняння кривої, що задовольняє цим положенням, буде мати вигляд:

Ц>' = —!=хе ²⁵ (6.7)

Така крива називається кривою Гауса або кривою нормального роз-•-.обілу (рис. 6.4, в).

91

Тут: ст - поточне значення випадкової величини; & - середнє зна­чення (математичне очікування) випадкової величини;

5^і - середнє квадратичне відхилення (міра відхилення від середньо­го);

5^а - дисперсія випадкових величин (розсіювання).

На практиці широко зустрічаються розподіли за законом Гауса, з ті­єю лише особливістю, що фактичні криві мають кінцеві значення і СУщіп» а теоретична крива своїми кінцями іде у безмежність.

При ряді, що дискретно змінюється, середнє значення випадкової величини визначається з формули:

а = 2> (6.8)

Дисперсія визначається з формули:

₅>Лкі£і ₍₆.9)

Для висновку аналітичного виразу з визначення вірогідності Ф, зоб­разимо криву Гауса і відзначимо два довільних значення ст₁ і а₂ (рис. 6.4, в). Імовірність появи випадкових величин у цьому проміжку зображається площею Ф.

Аналітично згідно (6.6) з імовірністю появи випадкової величини в межах від (Ті до а₂ буде виражена формулою

ф= \жа-сіст (6.Ю)

Підставивши сюди вираз (6.7), отримаємо

Ф = -4= \е -<іа (6.11)

Для практичних цілей у розрахунках колії на міцність для визначен­ня динамічної сили Р^ як випадкової величини, прийнято Ф=0,994, тобто немає потреби розглядати всю криву від о=-оо до <т=оо, а достатньо обме­житися частиною її у межах відхилення від середнього значення <т на ве­личину ±Лф5 (рис. 6.4, г). Тут Лф=2,5 - є нормуючий множник для заданого рівня імовірності Ф=0,994.

Якщо визначати, наприклад, розрахункові значення динамічних сил за означеній ділянці, відповідній заштрихованій частині кривої розподілу, ■тобто із заданим рівнем імовірності Ф=0,994, це означає, що на кожну ти-:тчу вимірів перевищення максимального або мінімального імовірного значення можливе лише в 6 випадках. При цьому максимальне і мінімаль­не імовірні значення будуть визначатися з виразів:

(6.12)

Виходячи з того, що умова забезпечення міцності має вигляд

[а] (6.13)

<