12. Равномерная сходимость степенных рядов

Лемма 1. Степенной ряд сходится равномерно и абсолютно на любом отрезке внутри интервала сходимости ]c−R, c+R[.

Доказательство. Предположим, что [a, b] ]c − R , c + R [ , где R > 0. Тогда │a − c │< R и │ b − c │< R . Положим

d = max{│ a − c │, │ b − c │}. Если x [a, b], то │x − c│ ≤ d . Тогда │a_n│·│x − c│ⁿ ≤ │a_n│·d ⁿ, n N. Степенной ряд сходится абсолютно при x = c + d, поскольку x − c = d < R. Это означает, что сходится числовой ряд . Тогда степенной ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке [a,b] по признаку Вейерштрасса.

Лемма 2. Если степенной ряд сходится при x = R, то он сходится равномерно на отрезке [0, R].

Доказательство. По условию, числовой ряд сходится. Значит, последовательность частичных сумм этого ряда является фундаментальной. Тогда для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N выполняется неравенство |S_n – S_m| < ε. Если n > m ≥ N, то

|a_nRⁿ + a_n-1R^n-1 + … + a_m+2R^m+2 + a_m+1R^m+1| < ε.

Положим

B_m+1 = a_m+1R^m+1,

B_m+2 = a_m+1R^m+1 + a_m+2R^m+2 ,

…

B_n = a_m+1R^m+1 + a_m+2R^m+2 + …+ a_n-1R^n-1 + a_nRⁿ .

Тогда

|B_m+1| < ε, |B_m+2| < ε, … , |B_n| < ε,

причём:

a_m+1R^m+1 = B_m+1,

a_m+2R^m+2 = B_m+2 − B_m+1 ,

…

a_nRⁿ = B_n − B_n-1.

Рассмотрим последовательность частичных сумм {S_n(x)} степенного ряда . Если x [0, R], а n > m ≥ N, то

| S_n (x) − S_m (x)| = | a_n ·xⁿ + a_n−1 ·xⁿ⁻¹ + …+ a_m+1 ·x^m+1 | =

= | a_n · R ⁿ + a_n−1 · R ⁿ⁻¹ +… + a_m+1 · R ^m+1 | =

= |(B_n − B_n−1) + (B_n−1 − B_n−2) +…+ B_m+1 | =

= |B_n + B_n−1( − ) + …+ B_m+1( − )| ≤

≤| B_n|· + |B_n−1|( − ) +.. + |B_m+1|( − ) <

< ε ( + − +… + − ) = ε ≤ ε.

Аналогично можно показать, что при m > n ≥ N и всех x [0, R] выполняется неравенство

| S_m (x) − S_n (x) | < ε.

Таким образом, для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что при всех m, n ≥ N одновременно для всех x [0, R] выполняется неравенство

| S_n (x) − S_m (x) | < ε.

По утверждению 2 (раздел 9) степенной ряд сходится равномерно на отрезке [0, R].

Следствие. Если степенной ряд сходится при x = c + R, где R > 0, то он сходится равномерно на отрезке

[c, c + R]. Если степенной ряд сходится при x = c −R, где R > 0, то он сходится равномерно на отрезке [c − R, c].

Доказательство. Предположим, что степенной ряд сходится при x = c + R. Тогда степенной ряд , где z = x − c, будет сходиться при z = R. По лемме 2 этот ряд сходится равномерно на отрезке [0,R]. Тогда исходный ряд сходится равномерно на отрезке [c, c + R].

Если же степенной ряд сходится при x = c − R, то степенной ряд , где z = x − c, сходится при z = R. По лемме 2 степенной ряд сходится равномерно на отрезке [0,R]. Тогда исходный степенной ряд сходится равномерно на отрезке [c − R, c].

Теорема 12.1. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке в его области сходимости.

Доказательство. Если область сходимости степенного ряда Ω совпадает с его интервалом сходимости, то утверждение теоремы сразу следует из леммы 1.

Предположим, что Ω − полуинтервал, т.е. Ω = ] c − R, c + R], где R > 0, а отрезок [a, c + R] Ω. Можно считать, что a < c. Тогда по леммам 1 и 2 данный степенной ряд сходится равномерно на отрезках [a, c] и [c, c+R]. Следовательно, степенной ряд сходится равномерно на объединении этих отрезков [a, c] [c, c +R]=[a, c + R]. Остальные возможные случаи, когда Ω = [c − R, c + R[ или

Ω = [c − R, c + R], рассматриваются аналогично.

Пример. Дан степенной ряд . Тогда

.

Следовательно, степенной ряд сходится абсолютно при |x| < 1 и расходится при |x| > 1. В точке x = 1 имеем числовой ряд , который сходится по теореме Лейбница. При x = − 1 получаем гармонический ряд , который расходится. Значит, область сходимости данного степенного ряда Ω = ]−1, 1]. По теореме 12.1, степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке [a, 1] ]−1, 1].

Задачи.

1. . Исследовать степенной ряд на равномерную сходимость:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .