Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Российская экономическая академия имени Г.В. Плеханова»
В.Е. БАРБАУМОВ, Н.В. ПОПОВА
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Утверждено Редакционно-издательским
советом академии в качестве учебного пособия
Москва 2010
ББК 22.161 я 73
Б 246
УДК 517 (075.8)
Рецензенты: д-р экон. наук Ю.Н.Черемных,
канд. физ.-мат. наук В.М. Авдюхина
Барбаумов В. Е., Попова Н. В.
Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие. – М.: Изд-во Рос. экон. акад., 2010. – с.
ISBN 978- 5-7307-0578-6
В учебном пособии систематически изложены основные разделы теории числовых и функциональных рядов. По всем разделам приводятся задания для занятий в аудитории и для самостоятельной работы студентов.
Для студентов специальности 080116.65 «Математические методы в экономике».
ISBN 978-5-7307-0578-6 © Российская экономическая академия, 2010
Оглавление
Введение …………………………………………………………... 4
Понятие сходимости и суммы числового ряда ..…………… 5
Простейшие свойства сходящихся числовых рядов ……… 11
Признаки сходимости положительных рядов ………..….... 14
Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и
условная сходимость числового ряда ..……….……….…. 21
Предельные признаки сходимости Даламбера и Коши ……25
Свойства абсолютно и условно сходящихся числовых
рядов ……………….……………………………………….. 30
Сходимость и равномерная сходимость
функциональных последовательностей …….………..… . 36
Основные утверждения о равномерно сходящихся
функциональных последовательностях ………………….. 45
Функциональные ряды. Сходимость и равномерная
сходимость функциональных рядов …..……………… ..... 50
Основные утверждения о сумме функциональных
рядов ……….………………………………………………... 57
Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда …. 62
Равномерная сходимость степенных рядов ……………….... 68
Основные свойства суммы степенных рядов …..……....… . 72
Ряды Тейлора …………………………………………………. 78
Разложение функций в степенные ряды ………………...…. 84
Приближенные вычисления с помощью рядов ………….…. 90
Список литературы ..…………………………………..….… 96
Введение
Учебное пособие предназначено для студентов 2-го курса ЭМФ, специальность 080116.65 «Математические методы в экономике». Составлено в соответствии с программой учебной дисциплины «Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения», в рамках которой изучается раздел «Числовые и функциональные ряды». В пособии приводятся доказательства всех теоретических утверждений, разобранные примеры и задачи для занятий в аудитории и для самостоятельного решения.
1. Понятие сходимости и суммы числового ряда
Пусть дана числовая последовательность
a1, a 2 ,..., a n , ...
Определение. Выражение вида
a 1 + a 2 +...+ a n +... (1.1)
называется числовым
рядом. Числа
a1,
a
2,..., a
n,
...
– это члены
числового ряда.
Число an
называется
общим членом
числового ряда. Числовой ряд (1.1)
удобно
записывать кратко с помощью символа
суммирования
.
Например
Если дан числовой
ряд
,
то всегда можно рассмотреть
последовательность
его частичных
сумм
,
где
S1 = a 1 ,
S2 = a 1+ a 2 ,
S3 = a 1+ a 2 + a 3 ,
…
Sn = a 1+ a 2 +...+ a n ,
…
Примеры. 1.
Числовой
ряд
,
a
≠ 0, называют
геометрической
прогрессией,
а число q
– знаменателем
геометрической прогрессии. Если q
≠ 1, то
S1 = a,
S2
=
a +
a
q
=
a
,
S3
=
a +
a
q
+
a
q2
=
a
,
….
Sn
= a
+ aq
+
aq
2
+ ...+
aq
n
−
1
=
a
,
…
2. Дан числовой
ряд
.
Найдем последовательность его частичных
сумм:
S1
=
=
1−
;
S2
=
S1
+
= 1−
+
=
1−
;
S3
= S2
+
= 1−
+
=
1−
;
...
Sn
= Sn−1
+
= 1−
+
= 1 −
;
…
Основное
определение. Числовой
ряд
называется
сходящимся,
если сходится последовательность его
частичных сумм
.
Числовой ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм является расходящейся.
Если числовой ряд
сходится,
то существует конечный предел
.
Значение предела называется суммой
числового ряда
и
обозначается через S.
Таким образом, согласно определению
= S.
Примеры. 1.
Геометрическая
прогрессия
,
a
≠ 0, сходится
при | q|
< 1и имеет сумму
.
Доказательство. Так как Sn = a , то
=
=
=
= S,
поскольку
при
| q|
< 1.
2. Числовой ряд сходится и имеет сумму S = 1. Действительно,
=
= 1.
3. Числовой ряд
называется гармоническим
рядом . Покажем, что гармонический ряд
расходится. Рассмотрим частичные суммы
гармонического ряда:
,
,
,
...
>
…
Отсюда следует,
что последовательность
является неограниченной. Тогда сама
последовательность частичных сумм
гармонического ряда расходится, так
как имеет расходящуюся подпоследовательность.
Значит, гармонический ряд расходится.
Основной задачей в теории числовых рядов является выяснение каким является числовой ряд − сходящимся или расходящимся. Поэтому важную роль играют различные признаки сходимости.
Теорема 1.1
(необходимый
признак сходимости). Если числовой ряд
сходится,
то предел его общего члена равен нулю,
то есть
=
0.
Доказательство.
Предположим,
что числовой ряд
сходится.
Это означает, что сходится последовательность
его частичных сумм
.
Пусть
= S.
Тогда последовательность
также сходится к S.
Очевидно, что
.
Тогда
=
=
−
=
S
− S
= 0.
Замечание.
Приведенный признак сходимости является
необходимым, но недостаточным. Например,
гармонический ряд
расходится. Однако
= 0.
С помощью необходимого признака удобно устанавливать расходимость числовых рядов, так как имеет место следующее следствие теоремы 1.1.
Следствие. Если общий член ряда не стремится к нулю, то есть предел ≠ 0 или не существует, то числовой ряд расходится.
Примеры. 1.
Числовой
ряд
расходится, поскольку
=
=
= 1 ≠ 0.
2. Геометрическая
прогрессия
,
a
≠ 0, расходится
при
.
Действительно, если q
= 1, то геометрическая прогрессия имеет
вид:
a + a +...+ a +... .
Тогда = a ≠ 0.
Если q = −1, то геометрическая прогрессия имеет вид:
a − a + a − a +... .
Тогда предел
общего члена ряда
не существует.
Если же
,
то последовательность
является
неограниченной. Таким образом, во всех
рассмотренных случаях геометрическая
прогрессия расходится по необходимому
признаку сходимости.
Задачи.
1.1. Для числового
ряда
найти частичные суммы
S2, S4, S5, S7.
1.2. Построить последовательность частичных сумм числового ряда и найти сумму ряда, если:
а)
a
n
=
,
n
N;
б)
a
n
=
,
n
N;
в)
a
n
=
,
n
N;
г)
a
n
=
,
n
N;
д)
a
n
=
,
n
N;
е)
a
n
=
,
n
N.
Замечание. Запись n N, где N − множество всех натуральных чисел, означает, что n = 1,2,3,.. .
1.3. Построить последовательность частичных сумм числового ряда и найти сумму ряда, если:
а)
a
n
=
,
│q│<
1,
n
N;
б)
a
n
=
,
│q│<
1,
n
N;
в)
a
n
=
,
│q│<
1,
n
N;
г)
a
n
=
,
n
N;
д)
a
n
=
,
n
N.
1.4. С помощью необходимого признака сходимости числового ряда доказать расходимость ряда:
а)
; б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.