1. Введение.
2. Определение бесконечно малой функции.
3. Теоремы о бесконечно малых функциях.
4. Основные теоремы о пределах.
5. Заключение.
Бесконечно малые величины - это очень важный класс переменных величин, играющий первостепенную роль в высшей математике. О необходимости их изучения уже говорилось на предыдущей лекции. Так, например, в процессе безграничного расширения некоторой массы газа плотность и давление будут бесконечно малыми. При затухающем колебании маятника угол его отклонения от положения равновесия в процессе течения времени также является бесконечно малой величиной.
Отметим, что при квалификации некоторой величины в качестве бесконечно малой непременно должен быть указан процесс, так как та же величина в другом процессе может уже вовсе не быть бесконечно малой. Таким образом в ходе развития процесса должен найтись момент, начиная с которого всегда будет 1; некоторый другой, более поздний момент, начиная с которого всегда будет 0,1 и т.д. Это выражается словами для любого заданного постоянного 0 в ходе развития процесса должен найтись момент, начиная с которого всегда будет . При этом нет необходимости такой момент фактически точно указывать, достаточно иметь уверенность, что он когда-либо наступит. Следовательно, существенным является то, что бесконечно малая в ходе развития процесса становится как угодно малой.
С этой точки зрения постоянная величина, даже весьма малая, не является бесконечно малой.
Практическое применение понятия бесконечно малой приводит к следующему затруднению: ни одна реальная величина не может безгранично приближаться к нулю (газ не может безгранично расширяться, а реальный маятник через некоторое время остановится). Таким образом, определение бесконечно малой можно применять лишь к математической модели реального процесса. Эта замена реального процесса на его математическую модель должна проводиться так, чтобы изучаемые стороны процесса не потерпели бы существенного искажения.
2. Определение бесконечно малой функции.
Функция f(x)
называется бесконечно малой при x
a
(а -
число или ,
+,
–),
если
.
Используя определения предела, можно дать равносильное определение бесконечно малой функции.
Функция f(x)
называется бесконечно малой при х а,
если для
любого
> 0 найдется такое
> 0,
что для всех |x – a| <
выполняется неравенство |f(x)| < .
Это определение с помощью кванторов можно записать так:
Пример:
-
1. (x) = x – 1
- бесконечно малая функция при х 1
2. (x) = x2
- бесконечно малая функция при х 0
3. Теоремы о бесконечно малых функциях.
Теорема 1. Сумма конечного числа бесконечно малых при х а функций есть функция бесконечно малая при х a.
Доказательство.
Пусть (x)
и (x)
бесконечно малые при х а.
Покажем, что
является также бесконечно малой функцией
при х
а.
По определению бесконечно малой функции
;
.
Выберем за наименьшее из 1 и 2 : = min(1, 2).
В
- окрестности точки a
(для |x – a| < )
одновременно выполняются оба неравенства
и
.
Тогда
:
.
Но
поэтому
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции (x) на функцию f(x), ограниченную в окресности этой точки является функцией бесконечно малой при x a.
Доказательство.
По определению бесконечно малой функции
По
определению ограниченной функции
Выберем за
наименьшее из 1
и 2:
= min(1, 2).
В
- окрестности
точки a
выполняются оба неравенства
и
Тогда
и
т.е.
.
Следствие. Так как бесконечно малая функция ограничена (| (x)| < при x a), то произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая при x a.
Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой функции (x) при x a на функцию f (x), предел которой при x a отличен от нуля, является функцией бесконечно малой при x a.
Доказательство.
Функция
может быть представлена в виде произведения
бесконечно малой функции (x)
на ограниченную
.