2. Односторонние пределы функции.
Если х стремится к а, оставаясь всё время больше а, то говорят, что x стремится к a справа. Соответствующий предел функции (если он существует) называется пределом функции х в точке а справа.
Определение. Число называется пределом справа функции х при х а, если для любого числа найдется число такое, что неравенство |х | выполняются для всех х удовлетворяющих условию х a .
Записывают
.
Аналогично определяется предел слева функции х) при х а, если неравенство |х ‑ | выполняются для всех х, для которых а х , или
Пример.
График функции
изображен на рис.7
Рис.7
Если функция x имеет предел при x a, то она имеет в этой точке предел слева и справа, которые равны между собой:
.
(1)
Справедливо и обратное утверждение. Если функция в точке имеет равные односторонние пределы, то в этой точке существует предел функции и выполняется равенство .
3. Ограниченность функции, имеющей предел.
Функция x называется ограниченной на некотором множестве значений аргумента x, если существует число 0, такое, что выполняется неравенство |x| M для всех значений x, из этого множества.
Теорема. Если функция x при x а имеет конечный предел, то она ограничена в некоторой окрестности точки x а, за исключением, быть может, самой точки а.
Доказательство.
Пусть
.
По определению предела
те функция x в - окрестности точки а ограничена, за исключением, быть может, самой точки.
4. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.
Теорема 1. Если
x
вблизи а
(в некоторой окрестности точки а)
и
,
то
.
Теорема также верна, если знаки заменить знаками .
Доказательство. Предположим, что . Тогда x и, следовательно, x не стремится к нулю при x а. Но тогда x не стремится к при x а, что противоречит условию теоремы. Следовательно .
Теорема 2. Если
существуют конечные пределы
и
,
причем x x
вблизи а, то
.
Доказательство. Для доказательства достаточно рассмотреть функцию xxx
и имеющую предел .
Теорема 3. Если вблизи а выполняются неравенства
x x x (1)
и
,
то
.
Доказательство.
Перепишем неравенства (1) в виде
x x x .
По условию
и
.
Следовательно, при любом
найдется некоторая окрестность точки
а,
в которой будет выполняться неравенство
x .
Так же
найдется некоторая окрестность точки
а, в
которой будет выполняться неравенство
x .
В меньшей из этих окрестностей будут
выполняться оба неравенства x ‑ ;
‑ x ‑ ,
а следовательно,
будут выполняться неравенства
x ,
т.е.
.
5. Заключение.
Таким образом, рассмотрено одно из важнейших понятий математического анализа - понятие предела функции. Оно позволяет устранить многие противоречия, возникающие при построении математического анализа.
ЛЕКЦИЯ №
Бесконечно малые функции
План