
- •1. Введение.
- •2. Множества. Множества вещественных чисел.
- •3. Числовые последовательности.
- •4. Предел последовательности.
- •4.1. Геометрическая интерпретация определения предела последовательности.
- •4.2. Свойства пределов (основные теоремы о пределах).
- •4.3. Бесконечный предел последовательности.
- •5. Монотонные последовательности.
- •6. Число e.
- •7. Заключение.
- •1. Введение.
- •5. Заключение.
- •2. Односторонние пределы функции.
- •4. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.
- •5. Заключение.
- •1. Введение.
- •5. Заключение.
- •2. Определение бесконечно малой функции.
- •3. Теоремы о бесконечно малых функциях.
- •4. Основные теоремы о пределах.
- •1. Введение.
- •6. Заключение.
- •I.Введение
- •6. Заключение.
- •1. Введение.
- •7. Заключение.
- •1. Введение
- •6. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •7. Заключение
6. Число e.
Рассмотрим
последовательность с общим членом
.
Покажем, что она имеет предел. Формула
бинома Ньютона:
По формуле бинома
Ньютона
;
;
;
;
.
Тогда
1. С ростом n каждое слагаемое и их число увеличивается. Следовательно, последовательность {xn}монотонно возрастает.
2. Покажем, что последовательность ограничена:
;
.
,
т.е. последовательность ограничена и, следовательно, она имеет предел
,
e = 2,71828 иррациональное число.
Логарифмы чисел по основанию е называют натуральными логарифмами и обозначают logex = ln x.
Связь между натуральными и десятичными логарифмами
y = ln х, х = еy lg х = lg ey = y lg e lg х = ln х lg e.
lg е = 0,4343
7. Заключение.
Жизнь (физика, механика, техника) ставит перед математикой определенные задачи. Математика дает методы их решения в обобщенной и абстрактной форме. Практика использует эти методы для всевозможных расчетов. Только для философа-идеалиста математика - это произвольное и свободное творение человеческого ума, никак не обусловленное задачами естествознания и техники.
Ф.Энгельс по поводу абстрактности математики писал “Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, х и у, постоянные и переменные величины”.
ЛЕКЦИЯ №
Предел функции
1. Введение.
2. Определение предела функции.
2.1. Геометрический смысл определения предела функции в точке.
3. Ограниченность функции, имеющей предел.
4. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.
5. Заключение.
Операция предельного перехода играет важную роль в математическом анализе. Впервые определение понятия предела появляется у Дж.Валлиса (1616-1703). (“Арифметика бесконечных”, 1665 г., Валлис был членом -учредителем королевского общества, профессором геометрии в Оксфорде). Однако только в работах О.Коши (1789-1857) и Б.Больцано (1781-1848 г.)была впервые развита теория пределов и использована для строгого построения всего математического анализа. Коши и Больцано принадлежат к пионерам в деле внедрения в математику повышенной строгости. Коши дал то обоснование анализа, которое сейчас является общепринятым в наших учебниках. Коши использовал понятие предела, чтобы определить производную от функции, таким образом, более прочно обосновал это понятие, чем были в состоянии сделать его предшественники.
Все окружающие нас задачи имеют дело с переменными величинами. Эти задачи в основном связаны с необходимостью уметь подсчитывать пределы переменных величин, приращения переменных величин, отношения этих приращений, когда они бесконечно малы, и пределы сумм бесконечно малых. Поэтому изучают бесконечно малые не случайно, а по тому, что их использование носит всеобщий характер. Все явления природы в конечном счете имеют своим источником движение материи. Но с движущейся частицей связаны понятия: траектория, время, скорость и ускорение. Измерение величины движущейся массы связано с понятиями плотности, длины дуги, площади и объема. Таким образом, во всех основных расчетах в науке и технике мы подсчитываем либо пределы отношений бесконечно малых (скорость, ускорение, плотность), либо пределы сумм бесконечно малых (длина дуги, площадь, объем, масса). Следовательно, эти операции анализа являются важнейшими вычислительными операциями науки и техники.
1. Определение предела функции.
Пусть функция f(x)
определена в некоторой окрестности
точки
.
В точке
функция может быть
и не определена.
Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) при х стремящемся к , если для любого положительного числа ( 0) найдется такое положительное число ( ), что для всех x, удовлетворяющих условию x – , выполняется неравенство fx .
Это определение с помощью кванторов можно записать так:
Пример. Пользуясь
определением предела, покажем, что
f(x) = 4x + 7, A = 11, a = 1.
По определению предела
x x
Пусть
.
Найдем
такое, чтобы для
.
Но
.
Следовательно
.
Для любого
>0
найдем
такое, что
,
следовательно
.
1.1. Геометрический смысл определения предела функции в точке
Рассмотрим функцию y = f(x), график которой представлен на рис.1. В точке x=a функция может быть не определена. Построим произвольно - окрестность точки A. Проведем прямые y = A – и y = A + . Справа и слева от точки a на оси OX получим отрезки. Меньший из них примем за и построим - окрестность точки a.
Рис.1
Из определения предела функции следует, что для любого ( может быть сколь угодно малым) существует > 0, такое, что для всех точек симметричного относительно a интервала (a , a ) значения функции не входят из - окрестности точки a. зависит от ).
Из рассмотрения графиков функций, изображенных на рис.2 и 3 ясно, что эти функции не имеют предела при x a.
|
|
Рис.2 |
Рис.3 |
Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при x a, если для любой последовательности значений аргумента x: x1, x2, , xn, …, сходящейся к a, соответствующая последовательность значений функции f(x1), f(x2) …, f(xn), … сходится к A.
Это определение с помощью кванторов можно записать так:
.
Определение 1 называют ( – ) - определением предела, а определение 2 - определением предела “на языке последовательностей”. Определения 1 и 2 эквивалентны.
Определение предела функции через предел последовательности дает возможность из теорем, полученных для сходящихся последовательностей, получить соответствующие теоремы о пределах функций. Оно дает также возможность установить для некоторых функций, что они не имеют предела. Для этого достаточно показать, что существует последовательность значений аргумента сходящаяся к рассматриваемому значению аргумента, для которой соответствующая последовательность значений функции не имеет предела, или показать, что существуют две различные последовательности, сходящиеся к рассматриваемому значению аргумента, для которых соответствующие последовательности значений функции имеют различные пределы.
Пример: Функция
не имеет предела при x
0.
;
;
(x/n)
= sin n
= 0
0.
;
;
.
В некоторых случаях возникает необходимость исследовать поведение функции, когда аргумент неограниченно растет по абсолютной величине. Может оказаться, что значения функции при этом стремятся к некоторому числу . Определим предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение 3. Число называется пределом функции (x) при x , если для любого 0 найдется такое число 0, что для вех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| , выполняется неравенство | (x) | , или
.
Если
,
то график функции (x)
неограниченно (асимптотически)
приближается к прямой y
=
при стремлении x
к
как по положительным, так и по отрицательным
значениям (рис.4).
Рис.4
Аналогично определяются пределы
,
(рис.5)
,
(рис.6)
|
|
Рис.5 |
Рис.6 |