4.2. Свойства пределов (основные теоремы о пределах).

1. Последовательность может иметь лишь один предел.

2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

3. Теорема Больцано–Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся последовательность.

4.3. Бесконечный предел последовательности.

Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого числа M > 0 найдется номер N, такой, что для всех n > N выполняется неравенство |x_n| > M. Геометрически это означает, что какое бы число M > 0 мы ни взяли, все члены последовательности {x_n}, кроме конечного их числа, лежат вне [–M, M].

Примеры: {n}; {–n}; {(–1)ⁿ n}.

Тот факт, что последовательность {x_n} бесконечно большая, записывают следующим образом: x_n   или . Иногда выделяют частные случаи, когда бесконечно большая последовательность {x_n} при всех n или при всех n кроме конечного числа, сохраняет знак. Если члены {x_n} положительны, то x_n   или  если члены последовательности отрицательны то x_n  – или 

4.4. Бесконечные малые

Последовательность {x_n} называется бесконечно малой если 

Примеры  

Общие члены бесконечно малых последовательностей обозначают буквами греческого алфавита _n _n  _n  

Из определения предела последовательности следует что последовательность {_n} будет бесконечно малой если для любого    найдется число  такоечто для n   выполняется неравенство |_n|  

Если  то из определения предела следует x_n  a  _n где _n  0 и обратно если x_n  a  _n где _n   то .

Теорема. Для того, чтобы последовательность {x_n} сходилась к числу a, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство x_n = a + _n, где _n  .

5. Монотонные последовательности.

Последовательность {x_n} называется возрастающей, если x₁ < x₂ <   x_n <  неубывающей, если x₁  x₂    x_n   убывающей, если x₁ > x₂ >  > x_n >  невозрастающей если x₁  x₂    x_n   Все такие последовательности называются монотонными. Из определения монотонных последовательностей следует если монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху, то она ограничена; если монотонно убывающая последовательность ограничена снизу, то она ограничена.

Рассмотрим последовательность отрезков a₁ b₁,  a₂ b₂  a_n b_n  таких, что каждый следующий принадлежит предыдущему: a_n  a_n+1  b_n+1  b_n n    . Такие отрезки называются вложенными. Если последовательность вложенных отрезков удовлетворяет условию , т.е. длины отрезков стремятся к нулю, то она называется последовательностью вложенных стягивающихся отрезков.

Лемма. Для последовательности вложенных стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство. Допустим, что существуют две точки ₁ и ₂ (₁  ₂), принадлежащие всем отрезкам. Тогда при всех n b_n  a_n  |₁  ₂|  0 и, следовательно, , что противоречит условию.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Доказательство. Пусть неубывающая последовательность {x_n} ограничена сверху. Докажем, что она сходится. Так как {x_n} ограничена сверху, то существует число M, такое, что x_n < M при всех n. Обозначим отрезок [x₁, M] через [a₁,b₁], а его длину через d. Разделим отрезок [a₁, b₁] пополам. Тогда в силу монотонности {x_n} в одном из полученных отрезков содержатся все члены последовательности, кроме, возможно, конечного их числа. Рассмотрим этот отрезок, который обозначим [a₂, b₂]. Разделим [a₂, b₂] пополам. Тогда в одном из полученных отрезков содержатся все члены последовательности, кроме, возможно, конечного их числа. Этот отрезок обозначим [a₃, b₃] и т.д.

Продолжая неограниченно этот процесс деления, получим последовательность вложенных стягивающихся отрезков (их длина стремится к нулю). В каждом таком отрезке содержатся все члены последовательности, кроме быть может, конечного их числа. На основании леммы существует единственная точка (обозначим ее через a), принадлежащая всем отрезкам.

Покажем, что x_na. Возьмем произвольное число  > 0.

Тогда в интервал (a – , a + ) попадет отрезок [a_n, b_n] достаточно большого номера. Вне этого отрезка содержится лишь конечное число членов последовательности {x_n}. Следовательно, для всех членов последовательности, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство x_n - a < , т.е. x_na.

Если последовательность {x_n} невозрастающая и ограничена снизу, то можно рассмотреть {–x_n}. Она неубывающая, ограниченная сверху, и следовательно, сходящаяся.

Доказанная теорема позволяет во многих случаях установить существование предела последовательности (существование предела последовательности периметров (площадей) вписанных в окружность правильных n - угольников и описанных многоугольников).

Всякая монотонная последовательность имеет предел, конечный или бесконечный.